Izometrie parțială

În analiza funcțională , o izometrie parțială este o hartă liniară între două spații Hilbert a căror restricție la complementul ortogonal al nucleului său este o izometrie .

Acest complement ortogonal al nucleului se numește subset inițial, iar imaginea acestuia se numește subset final.

Exemple

• Orice operator unitar pe un spațiu Hilbert este o izometrie parțială ale cărei spații inițiale și finale sunt spațiul Hilbert considerat.
• Pe spațiul hermitian C 2 , harta liniară reprezentată de matrice este o izometrie parțială, a spațiului inițial și a spațiului final .(0100){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}{0}⊕VS⊆VS⊕VS{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus \ mathbb {C} \ subseteq \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}}VS⊕{0}{\ displaystyle \ mathbb {C} \ oplus \ {0 \}}

Altă definiție

Dacă U este o izometrie definită pe sub spațiul închis H 1 al unui spațiu Hilbert H , atunci există o extensie unică W a lui U pentru tot H care este o izometrie parțială. Această extensie este definită prin extinderea ei cu 0 pe complementul ortogonal al lui H 1 .

Astfel, uneori se numește uneori izometrie parțială o izometrie definită pe un sub spațiu închis al unui Hilbert.

Caracterizare

Izometriile parțiale sunt, de asemenea, caracterizate prin faptul că fie W W * sau W * W sau o proiecție . Dacă se întâmplă acest lucru, atât WW * cât și W * W sunt proiecții. Acest lucru face posibilă definirea unei izometrii parțiale pentru algebre C * după cum urmează:

Dacă A este o C * algebra, se spune că un element W al A este o izometrică parțială , dacă W * W sau WW * este o proeminență ( autoadjunct operatorului idempotente ) în A . În acest caz, ambele sunt proiecțiile ortogonale , numite respectiv proiecția inițială și proiecția finală W .

Când A este o algebră operatorul , imaginile acestor proiecții sunt , respectiv subspațiul inițial și final al subspațiul W .

De asemenea, putem arăta că izometriile parțiale sunt caracterizate prin ecuația:

W=WW∗W.{\ displaystyle W = WW ^ {*} W.}

Se spune că două proiecții, dintre care una este proiecția inițială și cealaltă proiecția finală a aceleiași izometrii parțiale, sunt echivalente. Aceasta este o relație de echivalență care joacă un rol important în teoria K- algebrelor C și în teoria Murray  (en) - von Neumann a proiecțiilor în algebrele Von Neumann .

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „  Partial isometry  ” ( vezi lista autorilor ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">