Inegalitatea variațională

În matematică , o inegalitate variational problemă cuprinde generalizand - le o serie de probleme clasice , cum ar fi găsirea unui zero al unei funcții , găsirea unui punct staționar al unei optimizare problemă, problema complementarității liniare , etc . Formalismul a fost introdus mai întâi pentru a analiza anumite ecuații diferențiale parțiale care modelează probleme cu contactul sau cu frontieră liberă ( problema Signorini ) înainte de a deveni un cadru formal autonom care se aplică diferitelor probleme.

Definirea problemei

Având în vedere un spațiu Banach al cărui dual topologic a fost notat (este notat cârligul de dualitate ), un set ne-gol și o funcție , o inegalitate variațională a problemei este de a găsi un punct astfel încât $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} '}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ $K \ subset {\ mathbb {E}}$ ${\ displaystyle F: K \ to \ mathbb {E} '}$ $x \ in \ mathbb {E}$

${\ displaystyle \ operatorname {IV} (F, K) \ qquad \ left \ {{\ begin {array} {l} x \ in K \\\ langle F (x), yx \ rangle \ geqslant 0, \ quad \ forall y \ in K. \ end {array}} \ right.}$

Prin urmare, se remarcă această problemă . Geometric, dacă este un spațiu Hilbert , dacă dualul său este identificat cu și dacă este convex , este vorba de găsirea unui punct astfel încât să fie în conul normal la en . $\ operatorname {IV} (F, K)$ $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} '}$ $\ mathbb {E}$ $K$ $x \ în K$ $-F (x)$ $K$ $X$

Când datele au o anumită structură, găsim probleme clasice.

Deci , problema este găsirea unui zero de . ${\ displaystyle K = \ mathbb {E}}$ $F$
Dacă este un spațiu Hilbert , dacă este un convex închis non- gol și dacă este gradientul unei funcții convexe diferențiate , problema este de a minimiza peste . $\ mathbb {E}$ $K$ ${\ displaystyle F = \ nabla f}$ $f: \ mathbb {E} \ to \ R$ $f$ $K$
Dacă , dacă este ortantul pozitiv al și dacă este o funcție afină ( este o hartă liniară și ), vom găsi problema complementarității liniare . ${\ mathbb {E}} = \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle F: x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mapsto Mx + q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $M$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$

Existența soluției

Dacă este un spațiu Hilbert , un punct este o soluție a dacă și numai dacă este un punct fix al funcției $\ mathbb {E}$ $X$ $\ operatorname {IV} (F, K)$

${\ displaystyle \ varphi: x \ in K \ to P_ {K} (xF (x)) \ in K.}$

Am notat proiectorul ortogonal pornit . Rezultatele existenței punctului fix pot fi, prin urmare, utilizate pentru a obține condiții de existență a soluției problemei . În dimensiunea finită, următorul rezultat este o consecință imediată a teoremei punctului fix al lui Brouwer , aplicată funcției . $P_ {K}$ $K$ $\ operatorname {IV} (F, K)$ $\ varphi$

Existența soluției (dimensiune finită) - Dacă este continuu și dacă este un convex compact nevazut, atunci problema are o soluție. $F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ $K \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {IV} (F, K)$

Metode de rezoluție

Anexe

Note

Articole similare

Lucrări generale

(ro) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Inegalități variaționale finite-dimensională și probleme de complementaritate (2 volume). Seria Springer în cercetarea operațională. Springer-Verlag, New York.
R. Glowinski, J.-L. Lions, R. Trémolières (1976). Analiza numerică a inegalităților variaționale - Volumul 1: Teoria generală și primele aplicații - Volumul 2: Aplicații la fenomene staționare și evolutive . Dunod, Paris.