Inegalitatea booleană
În teoria probabilității , inegalitatea booleană afirmă că, pentru orice familie finită sau numărabilă de evenimente , probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimente să apară este mai mică sau egală cu suma probabilităților evenimentelor luate separat. Mai formal,
Inegalitate booleană - Pentru o familie de evenimente A 1 , A 2 , A 3 , ... cea mai de numărat , avem:
P(⋃nuLAnu)≤∑nuP(LAnu).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ right) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} \ left (A_ {n} \ right).}
Demonstrație
Tratăm mai întâi, prin inducție , cazul unei familii finite de evenimente.
(LA1,...,LAm){\ displaystyle (A_ {1}, \ dots, A_ {m})}
Aceasta este pentru a demonstra asta .
P(LA1∪⋯∪LAm)≤P(LA1)+⋯+P(LAm){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m} \ right) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m})}
Inegalitatea este adevărată la rang . Presupunem că este adevărat într-un singur rând și considerăm o familie de evenimente.
m=1{\ displaystyle m = 1}
m{\ displaystyle m}
(LA1,...,LAm+1){\ displaystyle (A_ {1}, \ dots, A_ {m + 1})}
m+1{\ displaystyle m + 1}
Fie : (ipoteza inducției).
E=LA1∪⋯∪LAm{\ displaystyle E = A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m}}
P(E)≤P(LA1)+⋯+P(LAm){\ displaystyle \ mathbb {P} (E) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m})}
Apoi: ,
P(LA1∪⋯∪LAm+1)=P(E∪LAm+1)=P(E)+P(LAm+1)-P(E∩LAm+1){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m + 1}) = \ mathbb {P} (E \ cup A_ {m + 1}) = \ mathbb {P} ( E) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1}) - \ mathbb {P} (E \ cap A_ {m + 1})}
în cazul în care: .
P(LA1∪⋯∪LAm+1)≤P(E)+P(LAm+1)≤P(LA1)+⋯+P(LAm)+P(LAm+1){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m + 1}) \ leq \ mathbb {P} (E) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m}) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1})}
Acum ne ocupăm de cazul unei secvențe numerice de evenimente.
(LAnu)nu≥1{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 1}}
Pentru orice număr întreg strict pozitiv , adică ; apoi .
nu{\ displaystyle n}
Enu=LA1∪⋯∪LAnu{\ displaystyle E_ {n} = A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n}}
P(Enu)≤∑k=1nuP(LAk){\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {n}) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {k})}
Inegalitatea booleană rezultă din aceasta trecând la limita ; de fapt, și pentru toți , așa .
nu{\ displaystyle n}⋃nu≥1Enu=⋃nu≥1LAnu{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} E_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n}}
nu{\ displaystyle n}Enu⊂Enu+1{\ displaystyle E_ {n} \ subset E_ {n + 1}}
limP(Enu)=P(⋃nu≥1LAnu){\ displaystyle \ lim \ mathbb {P} (E_ {n}) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ right)}
- O altă metodă (tratând atât cazul finit, cât și cazul numărabil).
Am stabilit și totul , .
LA1′=LA1{\ displaystyle \ A '_ {1} = A_ {1}}
nu≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
LAnu′=LAnu∖(LA1∪⋯∪LAnu-1){\ displaystyle A '_ {n} = A_ {n} \ setminus (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n-1})}
Deci , și evenimentele sunt două câte două incompatibile;
în plus, pentru orice , deci (creșterea ).
⋃nuLAnu=⋃nuLAnu′{\ displaystyle \ bigcup _ {n} A_ {n} = \ bigcup _ {n} A '_ {n}}
LA1′,LA2′,...{\ displaystyle A '_ {1}, A' _ {2}, \ dots}
nu,LAnu′⊂LAnu{\ displaystyle n, A '_ {n} \ subset A_ {n}}
P(LAnu′)≤P(LAnu){\ displaystyle \ mathbb {P} (A '_ {n}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {n})}
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
Din toate acestea, ea urmează: .
P(⋃nuLAnu)=P(⋃nuLAnu′)=∑nuP(LAnu′)≤∑nuP(LAnu){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A '_ {n} \ right) = \ sum _ {n} \ mathbb {P} (A '_ {n}) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n})}
În ceea ce privește teoria măsurătorilor , inegalitatea booleană exprimă faptul că o măsură de probabilitate este σ -subaditivă (ca orice măsură).
Consecință - Intersecția unei familii finite sau numărabile de aproape anumite evenimente , B 1 , B 2 , B 3 , ..., este aproape sigură (este suficient să se aplice inegalitatea booleană la complementele B n ).
Inegalități Bonferroni
Inegalitatea Bonferroni , din cauza Carlo Emilio Bonferroni , inegalitate pe scară largă Boole. Ele oferă superioară și inferioară legat de probabilitatea de uniuni finite de evenimente.
Inegalități Bonferroni - Să stabilim:
S1: =∑eu=1nuP(LAeu),{\ displaystyle S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {i}),}
S2: =∑eu<jP(LAeu∩LAj),{\ displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {i <j} \ mathbb {P} (A_ {i} \ cap A_ {j}),}
și pentru 2 < k ≤ n ,
Sk: =∑P(LAeu1∩⋯∩LAeuk),{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum \ mathbb {P} (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}}),}
unde suma se efectuează pe toate k - tupluri strict crescătoare de numere întregi cuprinse între 1 și n .
Apoi , pentru orice întreg impar k astfel încât 1 ≤ k ≤ n
P(⋃eu=1nuLAeu)≤∑j=1k(-1)j+1Sj,{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ { j + 1} S_ {j},}
și pentru orice număr întreg k astfel încât 2 ≤ k ≤ n
P(⋃eu=1nuLAeu)≥∑j=1k(-1)j+1Sj.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ { j + 1} S_ {j}.}
Găsim inegalitatea booleană pentru k = 1.
Referințe
Acest articol se bazează pe o traducere a articolului Wikipedia engleză , preluată de la un articol PlanetMath , disponibil sub GFDL.
Vezi și tu
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">