Interconectări între teoria probabilității și statistică

De interconexiunile dintre teoria probabilităților și statistică (știința statisticilor) arată legăturile și diferențele dintre aceste două matematice domenii care formează științele ale intamplarii . Aceste științe interacționează cu alte discipline matematice, dar și cu științele fizice , științele economice și științele vieții etc.

Să oferim câteva prime definiții generale: teoria probabilității este studiul matematic al fenomenelor caracterizate prin întâmplare și incertitudine; statistica este de a colecta, procesa, interpreta și prezintă un set de date.

Dezambiguizarea

Să clasificăm omonimele probabilităților și statisticilor după domeniu.

În probabilități

• Teoria probabilităților (uneori numită „probabilitate“, „probabilitatea matematică«sau»teoria probabilităților„) este câmpul matematic fenomene caracterizate de hazard și incertitudine.
• O probabilitate este evaluarea probabilității unui eveniment .

• În articolul probabilități (matematică elementară) , prezentăm noțiunea de probabilitate și primele instrumente utile în acest domeniu.
• Probabilitatea condiționată a unui eveniment este probabilitatea acelui eveniment știind că are loc un alt eveniment.
• Termenii probabilitate a priori și probabilitate a posteriori sunt utilizați în câmpul inferenței bayesiene pentru a indica un calcul al probabilităților înainte sau după un experiment.

În statistici

În limbajul cotidian, statisticile din matematica elementară sunt rezultatele unui sondaj care constă în observarea unei anumite populații și determinarea distribuției unui anumit caracter statistic (dimensiune, număr de copii, zonă etc.) în această populație.

• Statistica (notate statistici și , de asemenea , uneori numită probabilitate statistică și statistica matematică) este domeniul matematica de colectare, prelucrare și interpretarea unui set de date. Rețineți că termenii statistici sau studiul statisticilor sunt uneori folosiți (prin abuz de limbă) pentru acest domeniu matematic.
• O statistică ( statistici la plural) este o cantitate calculată dintr-un număr de observații (sau eșantion ). Vorbim și despre date statistice.

• Inferență statistică (sau statistici inferențiale) este un set de metode pentru a trage concluzii fiabile din mostre de date statistice. Interpretarea datelor statistice este, în mare măsură, punctul cheie al inferenței statistice.
• În statistici descriptive este ramura de statistici care include mai multe tehnici utilizate pentru a descrie un set relativ mari de date.
• În datele statistice de bază continuă este un domeniu al matematicii elementare , care se ocupă cu cazul în care într - o cercetare statistică , caracterul statistic este o valoare continuă.
• Cele statistici elementare discrete este un domeniu al matematicii elementare care se ocupă în cazul în care, într - o cercetare statistică, caracterul statistic are un număr finit de valori rezonabile.
• „Matematic“ Statistica este ramura de statistici în cazul în care provocarea este de a găsi estimatori sensibile (imparțiale și eficiente). Analiza proprietăților matematice ale acestor estimatori se află în centrul activității matematicianului specializat în statistici.

În probabilitate și statistici

• O lege a probabilității descrie fie probabilitățile fiecărei valori ale unei variabile aleatorii discrete , fie probabilitatea ca variabila aleatoare continuă să aparțină unui interval arbitrar. Este caracterizarea unui fenomen aleatoriu. Legile probabilității sunt studiate în teoria probabilității și sunt utilizate în statistici .

Definiții mai detaliate

• În teoria probabilității , probabiliștii sunt interesați de rezultatele teoretice ale unui experiment guvernat de aleatoriu, aleatoriu pe care îl modelăm după legi adecvate, legi pe care le considerăm că corespund modelului real. Putem vorbi de „  cunoaștere a priori  ”, deoarece studiul se face fără date.

„În opinia mea, teoria probabilității este o disciplină foarte similară cu geometria sau mecanica rațională. Acesta vizează descrierea sistematică a anumitor fenomene reale și folosește o construcție idealizată a noțiunilor și definițiilor abstracte. "

-  Richard von Mises , 1932

• În statistici , statisticienii studiază datele empirice (adică date din situații concrete). Prin colectarea acestora (în timpul unui sondaj de exemplu), prin analizarea lor calitativă și / sau cantitativă (de exemplu prin tabele de date ), prin interpretarea acestora pentru a-și găsi proprietățile, apoi prin extrapolarea acestora pentru a face presupuneri despre ele.date viitoare.
  Putem vorbi de „  cunoștințe a posteriori  ”, deoarece studiul se realizează după colectarea datelor.
  • Unii oameni folosesc termenul „probabilitate statistică” pentru a se referi la statistici . În acest caz, statisticile sunt considerate o ramură a teoriei probabilității .
  • Pentru a analiza datele statistice, se utilizează instrumente probabilistice (cum ar fi așteptarea sau varianța matematică ), unii consideră că teoria probabilității este doar un instrument pentru statistici.

„Statistica este un mod de gândire care face posibilă colectarea, prelucrarea și interpretarea datelor pe care le întâlnim în diverse domenii, și în special în științele vieții, deoarece aceste date au o caracteristică esențială: variabilitatea. "

-  Daniel Schwartz , 1994

Aici considerăm că probabilitatea și statisticile sunt două domenii ale științei aleatorii care interacționează între ele.

„Teoria probabilității și statisticile sunt două domenii importante, integrate în activitățile noastre zilnice. Lumea industriei, companiile de asigurări sunt în mare măsură dependente de legile probabiliste. Fizica însăși are o natură esențial probabilistică. Același lucru este valabil și pentru fundamentele biologiei. "

-  Warren Weaver , 1963

„Ați vrut să depuneți mărturie că statisticienii nu-i considerau pe matematicieni drept frați inamici: fiți siguri că aceste sentimente bune sunt reciproce. "

-  Émile Borel , extras din discursul său inaugural pentru președinția SSP în 1922

Legături printr-un exemplu

Să luăm un exemplu simplu: cel al jocului de aruncare a monedelor .

O întrebare statistică ar fi: moneda este echilibrată? Adică, mai matematic, este probabilitatea de a obține cozi 1/2? (vezi această secțiune )

Să detaliați cum funcționează un test statistic . Începem prin stabilirea unei ipoteze statistice  : (H0) Probabilitatea de a obține cozi este 1/2 . De asemenea, ne oferim un risc prag, adică un procent sub care acceptăm să respingem H0 . De exemplu, acceptăm că în 5% din cazuri în care H0 este adevărat, testul afirmă că H0 este fals. Am stabilit un număr semnificativ de experimente care trebuie efectuate pentru ca testul statistic să fie valid (a se vedea de exemplu această secțiune ). Acest număr trebuie să fie suficient de mic pentru a fi realizabil. Experimentele au fost efectuate și au colectat rezultatele, adică numărăm frecvența stivei de rezultate . Apoi se folosește un test statistic pentru a compara această valoare empirică cu adevărata valoare așteptată: 1/2. Concluzionăm cu privire la acceptarea sau respingerea H0 în funcție de pragul fixat.

• Proporția feței într-un joc de capete sau cozi. Pentru fiecare dintre cele 10.000 de seturi de 200 de aruncări, includeți proporția feței .

• Curba, numită „clopot”, a legii normale care este reprezentarea teoretică a frecvenței feței .

Pentru un studiu probabilistic, considerăm că probabilitatea de a obține cozi este 1/2. Apoi studiem o lege a probabilității sau valoarea unei probabilități din jocul aleatoriu. De exemplu: Când faceți un număr infinit de aruncări, care este probabilitatea de a obține doar cozile? (vezi această secțiune )

În acest caz, cunoaștem deja legea probabilității asociată jocului aruncării de monede. Printr- o lege Kolmogorov zero știm că această probabilitate este fie 0, fie 1. Prin urmare, este 0, deoarece complementara sa (obțineți cel puțin o dată față ) este o probabilitate pozitivă.

O altă întrebare probabilistică: dacă N desemnează numărul primei aruncări la care apare cozile pentru prima dată, care este legea lui N?

Cunoscând independența aruncărilor și probabilitatea de a obține cozi (1/2), deducem că această lege este o lege geometrică . Adică probabilitatea ca N să fie k este (1/2 pentru N = 1, 1/4 pentru N = 2, 1/8 pentru N = 3 etc.). 1/2k{\ displaystyle \ scriptstyle 1/2 ^ {k}}

Note și referințe

Note

1. Diferența aici este utilizarea unui loc de .

Referințe

1. „  Probabilitate și statistici: spre un nou loc în lumea de mâine. O masă rotundă prezidată de Etienne Pardoux  ” ,2010
2. „  Site-ul Societății de Statistică Franceze  ” (accesat la 4 octombrie 2011 )
3. Alan Rueg , Probabilitate și statistici , Presses polytechniques et universitaire romandes,1994, A 4- a  ed. , 267  p. ( ISBN  2-88074-286-2 , citit online ) , Cuvânt înainte
4. [1] Richard von Mises , Teoria probabilității. Fundație și aplicații, analele IHP, volumul 3 n ° 2 (1932), p137-190.
5. „  Consiliul Național al Universităților site - ul, secțiunea 26  “ (accesat 04 octombrie 2011 )
6. [2] termeni a priori și a posteriori, a se vedea și această subsecțiune
7. [3] Jean-Claude Régnier, Scopuri și provocări ale statisticii didactice , halshs-00405986, versiunea 1 - 23 iulie 2009.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">