Inegalitatea Maclaurin

În matematică , inegalitatea lui Maclaurin este o generalizare a inegalității aritmetico-geometrice .

State

Sunt $a 1 , a 2 , ..., a n$ din numerele reale strict pozitive și, pentru $k = 1, 2, ..., n$ , media $S k$ definită de

{\ displaystyle S_ {k} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {1 \ leqslant i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \ leqslant n} a_ {i_ {1}} a_ {i_ {2} } \ cdots a_ {i_ {k}}} {\ displaystyle {n \ choose k}}} \ cdot}

Numărătorul acestei fracțiuni este elementar polinomul simetric de gradul k în n variabile $o 1 , o 2 , ..., o n$ , adică suma tuturor produselor de k între aceste numere. Coeficientul binomială în numitor , prin urmare , este numărul de termeni în numărător.

Asa de,

{\ displaystyle S_ {1} \ geqslant {\ sqrt {S_ {2}}} \ geqslant {\ sqrt [{3}] {S_ {3}}} \ geqslant \ cdots \ geqslant {\ sqrt [{n}] {S_ {n}}},}

iar aceste inegalități sunt stricte, cu excepția cazului în care toate $a i$ sunt egale.

Exemple

Inegalitatea este inegalitatea obișnuită între media aritmetică și media geometrică a n numerelor. ${\ displaystyle S_ {1} \ geqslant {\ sqrt [{n}] {S_ {n}}}}$

Pentru n = 4, inegalitățile intermediare sunt (pentru toate numerele reale $a , b , c , d > 0$ )

${\ displaystyle {\ frac {a + b + c + d} {4}} \ geqslant {\ sqrt {\ frac {ab + ac + ad + bc + bd + cd} {6}}} \ geqslant {\ sqrt [{3}] {\ frac {abc + abd + acd + bcd} {4}}} \ geqslant {\ sqrt [{4}] {abcd}}.}$

Demonstrație

Inegalitățile lui Maclaurin pot fi deduse din inegalitățile lui Newton , care sunt (prin setarea S 0 = 1)

{\ displaystyle \ forall k = 1, \ ldots, n-1 \ quad S_ {k} ^ {2} \ geqslant S_ {k-1} S_ {k + 1}.}

Într-adevăr, ${\ displaystyle S_ {1} ^ {2} S_ {2} ^ {4} S_ {3} ^ {6} \ ldots S_ {k} ^ {2k} \ geqslant (S_ {0} S_ {2}) ( S_ {1} S_ {3}) ^ {2} (S_ {2} S_ {4}) ^ {3} \ ldots (S_ {k-1} S_ {k + 1}) ^ {k}}$ simplificat la ${\ displaystyle S_ {k} ^ {k + 1} \ geqslant S_ {k + 1} ^ {k},}$ care echivalează cu ${\ displaystyle S_ {k} ^ {1 / k} \ geqslant S_ {k + 1} ^ {1 / (k + 1)}.}$ Cazul egalității pentru Newton îl prevede pe Maclaurin.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Inegalitatea lui Maclaurin ” ( vezi lista autorilor ) .
(ro) Piotr Biler și Alfred Witkowski , Problems in Mathematical Analysis , New York / Basel, CRC Press ,1990, 227 p. ( ISBN 0-8247-8312-3 , citit online ) , p. 5
(ro) Colin Mac Laurin , „ O a doua scrisoare a domnului Colin M c Laurin, […] către Martin Folks, Esq. ; referitoare la rădăcinile ecuațiilor, cu demonstrarea altor reguli în algebră […] ” , Phil. Trans. , vol. 36, nr . 407-416,1729, p. 59-96 ( DOI 10.1098 / rstl.1729.0011 )

Articole similare