Imagine reciprocă
În matematică , imaginea reciprocă - sau preimage - a unei părți B a unui set Y printr - o hartă f : X → Y este submultimea X alcătuit din elementele a căror imagine de f apartine B : . Prin urmare, se caracterizează prin:
f-1(B)={X∈X∣f(X)∈B}{\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ {x \ în X \ mid f (x) \ în B \}}
X∈f-1(B)⇔f(X)∈B{\ displaystyle x \ in f ^ {- 1} (B) \ Leftrightarrow f (x) \ in B}
.
Exemple
- Imaginea inversă a unui singleton printr-o funcție f este ansamblul antecedentelor lui y prin f .f-1({y}){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})}
{y}{\ displaystyle \ {y \}}
- Luați în considerare harta f : {1, 2, 3} → { a , b , c , d } definită de f (1) = a , f (2) = c , f (3) = d . Imaginea inversă a lui { a , b } cu f este f −1 ({ a , b }) = {1}.
Aplicația „imagine reciprocă”
Prin această definiție, f -1 este „imaginea reciprocă (prin f )“ harta, a cărui set definiție este setul de părți din Y și a cărei extremitate set este setul de părți X .
Atenție : Când f este un bijectie , nu se confunda această aplicație pentru piesele cu bijectie inverse a f , de asemenea , notat f -1 din Y în X . Imaginea reciprocă de f este identificată cu imaginea directă de această bijecție reciprocă f −1 . Pentru a evita orice confuzie, Birkhoff și Mac Lane vorbesc despre o „hartă set” pe care o denotă prin f * în loc de f −1 .
Proprietăți elementare
- Pentru toate părțile și de la :
B1{\ displaystyle B_ {1}}
B2{\ displaystyle B_ {2}}
Da{\ displaystyle Y}
f-1(B1∪B2)=f-1(B1)∪f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ cup B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cup f ^ {- 1} (B_ {2 })}
;
f-1(B1∩B2)=f-1(B1)∩f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ cap B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cap f ^ {- 1} (B_ {2 })}
;
f-1(B1∖B2)=f-1(B1)∖f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 })}
.
- Pentru orice parte a , .
B{\ displaystyle B}
Da{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B∩Eum(f){\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f)}
- În special dacă este surjectiv atunci .
f{\ displaystyle f}
f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
Putem chiar demonstra că este surjectiv dacă și numai dacă pentru orice parte a noastră avem .f{\ displaystyle f}B{\ displaystyle B}Da{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
- Pentru orice parte a , .
LA{\ displaystyle A}
X{\ displaystyle X}
LA⊂f-1(f(LA)){\ displaystyle A \ subset f ^ {- 1} (f (A))}
Includerea în cealaltă direcție este în general falsă dacă nu este injectivă .f{\ displaystyle f}
Putem chiar să dovedim că este injectiv dacă și numai dacă pentru orice parte a noastră avem .f{\ displaystyle f}LA{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}f-1(f(LA))=LA{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) = A}
- Pentru orice familie non-goală de părți din :
(Beu)eu∈Eu{\ displaystyle \ left (B_ {i} \ right) _ {i \ in I}}
Da{\ displaystyle Y}
f-1(⋂eu∈EuBeu)=⋂eu∈Euf-1(Beu){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcap _ {i \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }
;
f-1(⋃eu∈EuBeu)=⋃eu∈Euf-1(Beu){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }
.
- Considerând o aplicare mai , atunci imaginea inversă a unei porțiuni a compozit este:
g:Da→Z{\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}
VS{\ displaystyle C}
Z{\ displaystyle Z}
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
(g∘f)-1(VS)=f-1(g-1(VS)).{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} \ left (C \ right) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C)).}
Note și referințe
-
Saunders Mac Lane și Garrett Birkhoff , Algebra [ detaliile edițiilor ], zbor. 1, p. 8 .
-
Pentru o demonstrație, vezi de exemplu cheia de răspuns la exercițiul corespunzător de pe Wikiversitate .
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">