Sistemul Anosov

În teoria sistemelor dinamice , un sistem Anosov este un sistem hiperbolic , care prezintă o dinamică extrem de haotică .

Definiție

Conceptul de sistem dinamic diferențial

Un sistem dinamic diferențial este definit de o mapare unu-la-unu a spațiului de fază al sistemului la sine, astfel încât o condiție inițială este asociată cu o singură stare viitoare la momentul t (condiție de determinism ): $\ phi _ {t}: \ Gamma \ to \ Gamma$ $x_ {0}$

x (t) \ = \ \ phi _ {t} (x_ {0})

Când timpul t variază, această bijecție generează un flux pe , adică un grup continuu cu un parametru, cum ar fi: $\Gamma$ $\ phi _ {t}$

\ phi_0 \ = \ \ mathrm {Id}

\ forall \ (t, s) \, \ in \, \ mathbb {R} ^ 2 \, \ quad \ phi_t \ \ circ \ phi_s \ = \ \ phi_ {t + s}

Această modelare matematică corespunde, de exemplu, fluxului hamiltonian al mecanicii clasice , precum și fluxului geodezic pe o varietate Riemanniană .

Proprietatea hiperbolicității

Hyperbolicity spațiului de fază a fost demonstrată de către Dmitri Anosov prin analogie cu debitul geodezic al suprafețelor cu curbură negativă a geometriei hiperbolice .

De obicei pentru un flux hamiltonian, hipersuprafața energetică constantă a spațiului de fază admite aproape peste tot o descompunere de tipul: $S_E$

S_E \ = \ E_0 \ \ oplus \ E_S \ \ oplus \ E_I

$E_0$ este o varietate unidimensională în direcția fluxului.
$E_S$ este subspațiul direcțiilor stabile , direcții perpendiculare pe flux. Pentru o perturbare direcționată în aceste direcții, există o contracție exponențială către viitor, care corespunde exponenților negativi Lyapunov (acest soi este, prin urmare, instabil față de trecut).
$E_I$ este subspațiul direcțiilor instabile , direcții, de asemenea, perpendiculare pe flux. Pentru o perturbație îndreptată de-a lungul acestor direcții, există o expansiune exponențială către viitor, care corespunde exponenților pozitivi Lyapunov (această varietate este deci stabilă spre trecut.).

Faptul că există neapărat anumite direcții contractante complementare direcțiilor de dilatare poate fi văzut ca o consecință a teoremei lui Liouville , care spune că fluxul hamiltonian păstrează volumul în spațiul de fază.

Pentru un sistem haotic disipativ, nu există neapărat direcții contractante peste tot în spațiul de fază, dar există, în general, cel puțin un subset „ atractiv ” în acest spațiu de fază pe care dinamica este aproape hiperbolică.

Articole similare

Bibliografie

(ro) D. Anosov, „Fluxuri geodezice pe varietăți Riemanniene compacte de curbură negativă”, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute , vol. 90, n o 1, 1967, p. 1-235

Cărți de inițiere

John H. Hubbard și Beverly H. West, Ecuații diferențiale și sisteme dinamice , Cassini, 1999 ( ISBN 978-2-84225015-7 )
Grégoire Nicolis și Ilya Prigogine , Întâlnirea complexului , col. „Filosofia de azi”, PUF , 1992 ( ISBN 978-2-13043606-5 )
(ro) Boris Hasselblatt (de) și Anatole Katok (de) , Un prim curs de dinamică cu o panoramă a dezvoltărilor recente , Cambridge University Press , 2003 ( ISBN 0-521-58750-6 ) [ citiți online ]
(ro) Anatole Katok și Boris Hasselblatt, Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice , col. "Enciclopedia matematicii și a aplicațiilor sale" ( n o 54), Cambridge University Press, 1997 ( ISBN 978-0-52157557-7 ) [ citiți online ]

Lucrări mai tehnice

(ro) Stephen Smale , Matematica timpului - Eseuri despre sisteme dinamice, procese economice și subiecte conexe , Springer-Verlag, 1980 ( ISBN 978-0-387-90519-8 )
(ro) Boris Hasselblatt și Anatole Katok (eds.), Manual de sisteme dinamice , Elsevier. Zbor. 1A , 2002 ( ISBN 978-0-444-82669-5 ) ; Zbor. 1B , 2005 ( ISBN 978-0-444-52055-5 )
(en) Bernold Fiedler (de) (ed.), Manual de sisteme dinamice . Zbor. 2: Aplicații , Elsevier, 2002 ( ISBN 978-0-444-50168-4 ) ; Zbor. 3: Metode geometrice ale dinamicii diferențiabile , Elsevier, 2010 ( ISBN 978-0-444-53141-4 )
(en) Leonid Bunimovich , Roland Lwowitsch Dobruschin (de) , Iakov Sinai , Anatoly Vershik și colab. , Dynamical Systems, Teoria ergodicității și Aplicații , Seria: Enciclopedia de Științe Matematice 100 , Pachet Volum: matematică fizică, Springer-Verlag, 2 doua ediție, 2000 ( ISBN 978-3-540-66316-4 )

Biblioteca virtuală

Paul Manneville, Sisteme dinamice și haos , 1998, 233 de pagini [ citește online ]Curs dat de autor (LadHyX, École Polytechnique) către DEA în fizica și mecanica lichidelor.
(ro) David Ruelle , „Teoria ergodică a sistemelor dinamice diferențiabile”, Publ. Matematica. IHES , vol. 50, 1979, p. 27-58 [ citește online ]