Într - un non-isoscel triunghi , The hiperbola Kiepert este echilateral hiperbola care trece prin cele trei vârfuri și centrul de greutate al triunghiului.
Își ia numele de la matematicianul Ludwig Kiepert (de) care l-a prezentat în 1869 în soluția sa a problemei lui Lemoine (în) (Găsiți vârfurile unui triunghi cunoscând vârfurile celor trei triunghiuri echilaterale construite în afara acestuia).
Pentru orice triunghi ABC, construim trei triunghiuri isoscele direct similare (ABC '), (BCA') și (CAB '). Dacă liniile (AA '), (BB') și (CC ') nu sunt paralele, atunci sunt concurente într-un punct M. În cazul în care triunghiul inițial nu este isoscel, când unghiul de bază al triunghiurilor isoscel variază, punctul M traversează hiperbola Kiepert lipsită de un punct. Dacă triunghiul ABC este isoscel neechilateral, punctul M traversează axa de simetrie a triunghiului lipsit de un punct. Dacă triunghiul este echilateral, punctul M este fix.
Această proprietate ne permite să afirmăm că punctele Napoleon (N i și N e ), punctele Vecten (V i și V e ), punctele Fermat (F 1 și F 2 ) și, prin limită, ortocentrul (H) al un triunghi non-isoscel se află pe hiperbola Kiepert.
Hiperbola Kiepert conține multe alte puncte remarcabile ale triunghiului, printre care cel de-al treilea punct al lui Brocard , centrele cercurilor înscrise și exinscrise în triunghiul median și punctul Tarry (în) ( numărul Kimberling X98)
Linia care unește punctul Lemoine cu centrul cercului circumscris (axa Brocard) întâlnește cercul în două puncte, liniile Simson ale acestor două puncte sunt asimptotele hiperbolei.
Prin urmare, centrul hiperbolei, numit punctul Kiepert (numărul Kimberling X115) se află pe cercul Euler al triunghiului.
Acest centru se află în mijlocul segmentului care leagă cele două puncte Fermat (numerele Kimberling X13 și X14). Este, de asemenea, pe cercul care trece prin centrul cercului circumscris, centrul cercului lui Euler și punctul lui Lemoine (numărul Kimberling X6). Este, de asemenea, pe elipsa Steiner .