Omogenizare

În matematică și fizică , omogenizarea este un domeniu științific care s-a dezvoltat din anii 1970 și care vizează studiul sistemelor cu mai multe scale. Mai precis, omogenizarea este atașată studiului ecuațiilor diferențiale parțiale în care un termen oscilează puternic. Aceste oscilații sunt în general legate de studiul mediilor care prezintă eterogenități la scară microscopică (de exemplu, materiale compozite ). Obiectul teoriei omogenizării este de a propune o ecuație „eficientă” (sau „omogenizată”) în general mai simplă, care descrie comportamentul soluției ecuației considerate în limita în care scara mică tinde spre 0 Unul dintre obiectivele această teorie este de a simplifica simularea numerică a sistemelor fizice complexe care implică mai multe scale.

Domenii de aplicare

Conceptualizată inițial pentru ecuații eliptice, metoda de omogenizare prin analiză asimptotică se extinde la diferite tipuri de ecuații staționare sau nestacionare, începând cu ecuațiile de transport descrise de o ecuație Boltzmann a cărei difuzie constituie o aproximare care se găsește prin această abordare. Exemple de aplicare pot fi astfel găsite în domenii atât de diverse precum difuzia de masă sau căldură, mecanica fluidelor sau transferul radiativ . Se aplică și mecanicii mediilor continue sau electromagnetismului .

Exemplu de ecuație eliptică

Ne ocupăm aici de metoda utilizând o expansiune asimptotică pe exemplul unei ecuații eliptice . Utilizarea acestei tehnici necesită ca mediul luat în considerare să aibă o structură specifică: periodică (ca mai jos), aproape-periodică sau, aleatorie, cu proprietăți de staționaritate și ergodicitate .

Considerăm aici o ecuație eliptică pentru funcția necunoscută $u ( x )$ din domeniu ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} - \ nabla \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ left (\ mathbf {x} \ right) \ cdot \ nabla u (\ mathbf {x}) \ right) & = & f (\ mathbf {x}) \ ,, \ quad \ mathbf {x} \ in {\ mathcal {D}} \\ [0.6em] u | _ {\ partial { \ mathcal {D}}} & = & g \ end {array}} \ right.}

unde este un termen sursă și este datele limită impuse. Se presupune că matricea este pozitivă definită (posibil simetrică). $f$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {A}}}$

Problema este definită pe un mediu care cuprinde o scară de variație lentă $x$ și o scară de variație rapidă unde $ε$ măsoară scala microscopică ${\ displaystyle y = {\ frac {\ mathbf {x}} {\ varepsilon}}}$

{\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ left (\ mathbf {y} \ right) \ cdot \ nabla u ^ {\ varepsilon} (\ mathbf {y}) \ right) = f (\ mathbf {x})}

Când $ε$ tinde spre 0, această ecuație poate fi aproximată eficient printr-o ecuație - numită ecuație omogenizată - care implică o matrice care este scrisă ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star}}$

{\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} ^ {\ star} (\ mathbf {x}) \ cdot \ nabla u ^ {\ star} (\ mathbf {x}) \ right) = f (\ mathbf {x})}

in sensul că

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {\ varepsilon \ to 0} u ^ {\ varepsilon} (\ mathbf {x}) = u ^ {\ star} (\ mathbf {x})}

Dacă este un coeficient periodic, matricea omogenizată este constantă, deci o simplificare substanțială a problemei. ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} (\ mathbf {y})}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star}}$

Analiza asimptotică

Mediul ar trebui să fie periodic al celulei . Asta înseamnă că, pentru baza canonică a , avem ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = [0,1] ^ {d}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {i})}$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$

{\ displaystyle {\ mathsf {A}} (\ mathbf {x} + \ mathbf {e} _ {i}) = {\ mathsf {A}} (\ mathbf {x}) {\ text {pentru orice}} i \ in \ {1, \ cdots, d \}}

$x$ și $y$ sunt considerate variabile independente. Deci avem

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = u ^ {\ varepsilon} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ nabla = \ nabla _ {x} + {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ nabla _ {y} \ ,, \ quad \ nabla \ cdot = \ nabla _ {x} \ cdot + {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ nabla _ {y} \ cdot}

Soluția este dezvoltată ca o serie Hilbert , în care fiecare termen este periodic în raport cu a doua variabilă ${\ mathbf {y}}$

{\ displaystyle u ^ {\ varepsilon} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = u_ {0} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) + \ varepsilon u_ {1} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) + \ varepsilon ^ {2} u_ {2} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) + \ cdots}

Obținem astfel

{\ displaystyle \ nabla u ^ {\ varepsilon} = \ varepsilon ^ {- 1} \ nabla _ {y} u_ {0} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ varepsilon ^ {i} \ left (\ nabla _ {y} u_ {i + 1} + \ nabla _ {x} u_ {i} \ right)}

Gruparea termenilor de același ordin face posibilă obținerea la ordinul 0 a ecuației omogenizate

{\ displaystyle - \ nabla _ {x} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} ^ {\ star} \ nabla _ {x} u_ {0} \ right) = f}

unde este o matrice constantă obținută prin rezolvarea unei probleme la scara locală. ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star}}$

Demonstrație

După ce am transportat expresia seriei de mai sus în ecuația satisfăcută prin extragerea termenilor corespunzători fiecărei ordine a dezvoltării ${\ displaystyle u ^ {\ varepsilon}}$

la ordinea $ε -2$

{\ displaystyle \ nabla _ {y} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {0} \ right) = 0}

Testând ecuația împotriva și prin integrarea pe părți, obținem

u_0

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {E}} \ nabla _ {y} u_ {0} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {0} \ right) \ mathrm {d} \ mathbf {y} = 0}

Integrandul este non-negativ prin coercitivitatea lui . Aceasta implică faptul că, prin urmare, depinde doar de .

{\ displaystyle {\ mathsf {A}}}

{\ displaystyle \ nabla _ {y} u_ {0} = 0}

u_0

{\ displaystyle \ mathbf {x}}

pentru a comanda $ε -1$ și ținând cont de relația anterioară

{\ displaystyle \ nabla _ {y} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {1} \ right) + \ nabla _ {y} {\ mathsf {A}} \ cdot \ nabla _ {x} u_ {0} = 0}

Dacă funcția , de medie zero activată , este soluția problemei locale, atunci se poate scrie prin liniarizarea problemei

{\ displaystyle w_ {i} (\ mathbf {y})}

\ mathcal {E}

{\ displaystyle \ nabla _ {y} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ left (\ nabla _ {y} w_ {i} + e_ {i} \ right) \ right) = 0}

{\ displaystyle u_ {1} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = {\ overline {u}} _ {1} (\ mathbf {x}) + \ sum _ {i = 1} ^ { d} {\ frac {\ partial u_ {0}} {\ partial x_ {i}}} (\ mathbf {x}) w_ {i} (\ mathbf {y})}

unde este o funcție de integrare arbitrară pe care o vom alege să fie nulă.

{\ displaystyle {\ overline {u}} _ {1} (\ mathbf {x})}

la ordinea $ε0$

{\ displaystyle - \ nabla _ {x} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {x} u_ {0} \ right) - \ nabla _ {y} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {x} u_ {1} \ right) - \ nabla _ {x} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {1} \ right) - \ nabla _ {y} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {2} \ right) = f}

Prin medie peste deducem

\ mathcal {E}

{\ displaystyle - \ nabla _ {x} \ cdot \ left (\ left (\ int _ {\ mathcal {E}} {\ mathsf {A}} \ right) \ nabla _ {x} u_ {0} \ right ) - \ nabla _ {x} \ cdot \ int _ {\ mathcal {E}} {\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {1} = f}

Amânând ecuația care dă

u 1

obținem ecuația de difuzie omogenizată

{\ displaystyle - \ nabla _ {x} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} ^ {\ star} \ nabla _ {x} u_ {0} \ right) = f}

{\ displaystyle {\ mathsf {A}} _ {ij} ^ {\ star} = \ int _ {\ mathcal {E}} \ left ({\ mathsf {A}} _ {ij} (\ mathbf {y} ) + \ sum _ {k = 1} ^ {d} {\ mathsf {A}} _ {ik} (\ mathbf {y}) {\ frac {\ partial w_ {j} (\ mathbf {y})} {\ partial y_ {k}}} \ right) {\ rm {d}} \ mathbf {y}}

În cazul unidimensional, se poate obține chiar o expresie explicită a matricei omogenizate: este vorba despre media armonică a matricei : ${\ displaystyle {\ mathsf {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star} = \ left (\ left \ langle {\ mathsf {A}} ^ {- 1} \ right \ rangle \ right) ^ {- 1}}$

Demonstrație

Repetând demonstrația de mai sus, observăm că acolo unde ecuația satisface corectorul ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star} = \ left \ langle {\ mathsf {A}} \ left (1 + w '\ right) \ right \ rangle}$

${\ displaystyle \ left ({\ mathsf {A}} \ left (1 + w '\ right) \ right)' = 0}$

Prin integrarea acestei ecuații diferențiale obișnuite, găsim în mod natural că

${\ displaystyle \ left (1 + w '\ right) = {\ frac {C} {\ mathsf {A}}}}$

unde este o constantă de integrare. Pentru ca funcția să fie periodică, singura alegere posibilă este media armonică $VS$ $w$ $VS$

${\ displaystyle C = \ left (\ left \ langle {\ mathsf {A}} ^ {- 1} \ right \ rangle \ right) ^ {- 1}}$

prin injectarea acestei identități în expresia lui , găsim rezultatul dorit. ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star}}$

Referinţă

(în) A. Bensoussan , JL Lions și G. Papanicolaou , Asymptotic Analysis for Periodic Structures , Amsterdam, North-Holland ,1978, 699 p. ( ISBN 978-0-08-087526-2 , citit online )
(în) Luc Tartar , The General Theory of Homogenization , Springer ,2009, 210 p. ( ISBN 978-90-481-5142-4 )
(în) S. Nemat-Nasser și domnul Hori Micromecanică: proprietăți generale ale materialelor eterogene , Olanda de Nord ,1999( ISBN 0-444-50084-7 )
(în) Allaire, Proiectarea optimă a structurilor , Springer,2002, p. 176-190
(în) SM Kozlov, „ Omogenizarea operatorilor aleatori ” , Sbornik Mathematics , vol. 37, n o 21980, p. 167-180
(ro) GC Papanicolaou și SR Varadhan , „ Probleme cu valoarea limită cu coeficienți de oscilare rapidă ” , Seria Colloquium Mathematical Society Janos Bolyai , vol. 27,nouăsprezece optzeci și unu, p. 835-873

Vezi și tu