Medierea volumului

Volumul mediu-decizie , de multe ori la care face referire sa în limba engleză numele calculare a mediei de volum este o tehnică matematică de scalare utilizate pe scară largă în studiul mediilor poroase, scopul este de a crea modele macroscopice de probleme la „scară microscopică. Din punct de vedere istoric, această tehnică a permis diverșilor autori în 1967 să obțină legea lui Darcy , valabilă la scara macroscopică, prin media fluxului Stokes la scara microscopică. Această problemă este tratată aici, dar tehnica utilizată se extinde la multe alte domenii, cum ar fi difuzia materiei , conducerea termică sau mecanica mediilor continue .

Este o alternativă la metoda omogenizării matematice prin expansiune asimptotică .

Descriere microscopică / macroscopică

Descrierea fenomenelor fizice într-un mediu poros poate fi realizată la diferite niveluri:

Scara microscopică de lungime caracteristică care este scala porului, un spațiu gol în care circulă fluidul. Noțiunea de fluid trebuie luată aici în sens larg: poate fi un flux monofazat (lichid sau gaz) sau bifazat (gaz / lichid sau lichid / lichid). Interacțiunile dintre faze (atât fluid-solid, dar și fluid-fluid în cazul unui flux multifazic) sunt luate în considerare prin condițiile de la interfața acestor două faze. ${\ displaystyle l _ {\ beta}}$
O scară mai mare, care va fi numită scara macroscopică a lungimii caracteristice, este pentru partea sa din ordinul de mărime al dimensiunilor sistemului. Se caracterizează prin faptul că q reprezintă valoarea medie a oricărei mărimi care descrie mediul. $L$ ${\ displaystyle L = {\ frac {q} {| \ nabla q |}}}$

Cele două niveluri de detaliu prezentate mai sus diferă în general de mai multe ordine de mărime. De exemplu, lungimea caracteristică a fluxului microscopic într-o coloană de adsorbție care conține margele este de ordinul unui milimetru, în timp ce ordinea de mărime a scării macroscopice este cea a coloanei, adică - să spunem metrul. Se presupune că ipoteza separării scalelor este verificată:

{\ displaystyle l _ {\ beta} \ ll L}

Mai mult, se presupune că se știe să se definească un volum elementar reprezentativ (VER) al mediului, ceea ce va face posibilă o presupunere a periodicității acestuia.

Definiția volumului mediu

Noțiunea de medie a unei funcții valorice într-o fază este specifică problemei pe care dorim să o studiem. Cu toate acestea, este obișnuit să o definim ca integrală peste un volum definit în mod arbitrar. Acest volum conține solid (structura poroasă) în jurul căruia curge un fluid. Acesta din urmă poate fi monofazic sau multifazic. Definim media volumului prin: ${\ displaystyle \ phi _ {\ beta}}$ $\ beta$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle = {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}} \ phi _ { \ beta} d {\ mathcal {V}}}

De asemenea, definim media intrinsecă a fazei prin: $\ beta$

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {V }} _ {\ beta}} \ phi _ {\ beta} d {\ mathcal {V}}}

În general, atunci când se urmărește crearea unui model macroscopic dintr-o problemă la scara porilor, se caută ecuațiile diferențiale care guvernează mijloacele intrinseci la fiecare fază.

Aceste două medii sunt legate de relație

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ ,, \ qquad \ epsilon _ {\ beta} = {\ frac {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}} {\ mathcal {V}}}}

În cazul în care faza este singura fază care curge prin volum , se poate identifica cu porozitatea mediului. $\ beta$ $\ mathcal {V}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ beta}}$

Teorema mediei volumului

Luarea volumului mediu nu este o operație ușoară, mai ales în ceea ce privește media unui derivat. De fapt, media unui gradient este, în majoritatea cazurilor, diferită de gradientul mediei. Următoarele expresii, o consecință a teoremei lui Leibnitz, ne permit să conectăm aceste două operații:

- gradientul unei mărimi scalare	${\ displaystyle \ langle \ nabla \ phi _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{ \ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ phi _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}$
- divergența unei mărimi vectoriale	${\ displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ Phi _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ cdot \ langle \ Phi _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ Phi _ {\ beta} \ cdot {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}$

unde este granița, în interior , între și celelalte faze și este unitatea vectorul normal de la această frontieră, direcționată de către . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$ $\ beta$ $\ sigma$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma}}$ $\ beta$ $\ sigma$

Integrala exprimă la scară macroscopică efectele la interfața dintre două faze (de exemplu între un fluid și structura poroasă). Prin aceste integrale sunt calculate proprietățile macroscopice, cum ar fi permeabilitatea.

Exemplu: obținerea legii lui Darcy

Permeabilitatea constantă a fluxului Stokes al unui fluid β cu viteza V β într-un mediu poros σ este descrisă de următorul sistem

- conservarea impulsului	${\ displaystyle - \ nabla p _ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0}$
- relația de incompresibilitate	${\ displaystyle \ qquad \ qquad \; \; \ nabla \ cdot \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0}$
- stare limită fluid-solid	${\ displaystyle \ qquad \ qquad \ qquad \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0 \ quad on \; {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$

p β este presiunea și p p vâscozitatea dinamică .

La acest sistem trebuie adăugate condițiile inițiale și de graniță.

Relația de incompresibilitate este calculată prin luarea în considerare a condiției limită ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$

{\ displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ mathbf {V} _ {\ beta} \ cdot {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = 0}

Dacă suntem interesați de media intrinsecă la β pentru un mediu neomogen pe care îl avem

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = - {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ { \ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

Medierea conservării impulsului, care este mai dificilă, duce la ecuație

{\ displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n }} _ {\ beta \ sigma} \ cdot {\ mathsf {T}} \ mathrm {d} A = 0}

unde este un tensor care exprimă interacțiunea fluidului cu mediul solid. ${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$

Demonstrație

Descompunerea gri

Din punct de vedere macroscopic, orice câmp variabil microscopic poate fi văzut ca contribuția unui câmp mediu și a unei perturbări (sau fluctuații spațiale) . Descompunerea lui Gray (analogă cu descompunerea lui Reynolds ) este scrisă ${\ displaystyle \ phi _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta}}$

{\ displaystyle \ phi _ {\ beta} = \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta} \ ,, \ qquad \ langle {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} << \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

Gradientul mediu de presiune

Folosind descompunerea lui Gray și media intrinsecă

{\ displaystyle \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ langle p_ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}

Aur

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = {\ frac {\ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = - \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla \ epsilon _ {\ beta}}

Prin urmare

{\ displaystyle \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}

Media vitezei laplaciene

Prin aplicarea metodei utilizate pentru presiune și neglijarea gradientului scării mici, aceasta vine ${\ displaystyle \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle & = & \ nabla \ cdot \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ { \ beta} \ rangle - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V }}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}} } _ {\ beta} \ mathrm {d} A \\ [0.5em] & = & \ nabla ^ {2} \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle + \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathbf {V} _ {\ beta} \ mathrm {d} A \ right) - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ mathrm {d} A \ end {array}}}

Și, ținând cont de condiția de limitare fluid-solid

{\ displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ nabla ^ {2} \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ mathrm { d} A}

Medie pentru conservarea impulsului

Aceasta este scrisă

{\ displaystyle - \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle + \ mu _ {\ beta} \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = 0}

Fie prin inserarea expresiilor medii de mai sus

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} 0 & = & - \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ left (\ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ { \ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ right) + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta } \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A \\ [0.5em] & = & - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } + \ mu _ {\ beta} \ left (\ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta }}} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ epsilon ^ {\ beta} \ right) + {\ frac {1} {{\ mathcal { V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- { \ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A \ end {array}}}

Atunci presupunem o variație spațială „lentă” a porozității

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } << \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ ,, \ quad {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ epsilon ^ {\ beta} << \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta } \ rangle ^ {\ beta}}

Conservarea impulsului este simplificată prin

{\ displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n }} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V} } _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A = 0}

Ultimul termen din ecuație este corecția Brinkman .

Acest tensor poate fi exprimat în cazul unui mediu periodic

{\ displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - \ mu _ {\ beta} \ epsilon _ {\ beta} {\ mathsf {K}} ^ {- 1} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

unde este tensorul de permeabilitate . ${\ displaystyle {\ mathsf {K}}}$

Demonstrație

Prin introducerea descompunerilor lui p și V în conservarea impulsului obținem

{\ displaystyle - \ nabla \ langle {\ tilde {p}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle {\ tilde {\ mathbf { V}}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A = 0}

Incompresibilitatea este scrisă

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} = 0}

Și condiția de graniță

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} = - \ mathbf {V} _ {\ beta} \ quad on \; {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma} }

În plus, presupunem fluctuația de viteză a mediei zero

{\ displaystyle \ langle {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

Se scrie periodicitatea mărimii l i

{\ displaystyle {\ tilde {p}} _ {\ beta} (x_ {i} + l_ {i}) = {\ tilde {p}} _ {\ beta} (x_ {i}) \ ,, \ qquad {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} (x_ {i} + l_ {i}) = {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} (x_ {i}) }

Ne dăm reciproc următorul ansatz

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ tilde {p}} _ {\ beta} & = & \ mu _ {\ beta} \ mathbf {b} _ {\ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \\ [0.5em] {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} & = & {\ mathsf {B}} _ {\ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ end {array}}}

Apoi putem scrie conservarea impulsului în formă

{\ displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \, \ underbrace {{\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- \ mathbf {b} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ mathsf {B}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A} _ {- \ epsilon _ {\ beta} {\ mathsf {K}} ^ {- 1}} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

Putem rescrie această ecuație în următoarea formă, numită ecuația Darcy-Brinkman

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = - {\ frac { {\ mathsf {K}} _ {\ beta}} {\ mu _ {\ beta}}} cdot \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ mathsf {K}} _ {\ beta} \ cdot \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

{\ displaystyle {\ mathsf {K}} _ {\ beta} \ cdot \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} << \ langle \ mathbf {V } _ {\ beta} \ rangle}

Prin urmare, acest termen poate fi neglijat: ajungem astfel la legea lui Darcy într-un mediu periodic anizotrop.

Referințe

CM Marle, „ Fluxuri monofazice în medii poroase ”, Revue de l ' Institut français du petroleum , vol. 22, n o 10,1967, p. 1471-1509
(în) TB Anderson și R. Jackson, „ A Fluid Mechanical Description of Fluidized Beds ” , Industrial & Engineering Chemement Fundamentals , vol. 6,1967, p. 527-538
(în) JC Slattery, „ Fluxul de fluide viscoelastice prin medii poroase ” , Jurnalul AIChE , Vol. 13,1967, p. 1066-1071
(în) S. Whitaker, „ Difuzare și dispersie în medii poroase ” , Jurnalul AIChE , Vol. 13,1967, p. 420-427
(en) Stephen Whitaker, The Method of Volume Averaging , Kluwer Academic Publishers ,2010, 471 p. ( ISBN 978-3-642-05194-4 , citit online )
(în) WG Grey, „ O derivare a ecuațiilor pentru transportul multifazic ” , Știința ingineriei chimice , vol. 30,1975, p. 229-233
(în) HC Brinkman, „ Un calcul al forței vâscoase exercitate de un fluid care curge a fost un roi dens de particule ” , Cercetare științifică aplicată , vol. A1,1949, p. 1-27