Armonic cilindric
În matematică , armonicele cilindrice sunt un set de soluții liniar independente ale ecuației diferențiale Laplace.
∇2V=1ρ∂∂ρ(ρ∂V∂ρ)+1ρ2∂2V∂φ2+∂2V∂z2=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial V} { \ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z ^ {2}}} = 0}exprimată în coordonate cilindrice ρ (rază), φ (azimut) și z (dimensiune). Fiecare funcție V n ( k ) este produsul a trei termeni, fiecare depinzând doar de o coordonată. Termenul dependent de ρ este exprimat cu funcții Bessel (care sunt uneori numite și armonici cilindrice).
Definiție
Fiecare funcție V n ( k ) este exprimată ca produsul a trei funcții:
Vnu(k;ρ,φ,z)=Pnu(k,ρ)Φnu(φ)Z(k,z){\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}cu ( ρ , φ , z ) coordonatele cilindrice, iar n și k sunt constante care disting membrii mulțimii. Ca rezultat al principiului de suprapunere aplicat al ecuației Laplace, soluții generale la ecuația Laplace pot fi obținute prin combinații liniare ale acestor funcții.
Deoarece toate suprafețele pentru ρ , φ sau z sunt conice, ecuația Laplace este separabilă în coordonate cilindrice. Prin tehnica separării variabilelor , se poate scrie o soluție separată de ecuația Laplace:
V=P(ρ)Φ(φ)Z(z){\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}și prin împărțirea ecuației Laplace la V , ea se simplifică în:
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+Z¨Z=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}Termenul din Z depinde doar de z și, prin urmare, trebuie să fie egal cu o constantă:
Z¨Z=k2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}unde k este, în general, un număr complex . Pentru o valoare dată de k , Z are două soluții liniar independente.
- dacă k este real, putem scrie:
Z(k,z)=cosh(kz) otu sinh(kz){\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {sau} \ \ sinh (kz) \,}
sau, în funcție de comportamentul său ad infinitum:
Z(k,z)=ekz otu e-kz{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {kz} \ \ mathrm {sau} \ {\ rm {e}} ^ {- kz} \,}
Z(k,z)=cos(|k|z) otu păcat(|k|z){\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {sau} \ \ sin (| k | z) \,}
sau:
Z(k,z)=eeu|k|z otu e-eu|k|z{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} | k | z} \ \ mathrm {sau} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} | k | z} \,}
Putem observa că funcțiile Z ( k , z ) sunt nucleele transformării Fourier sau ale transformării Laplace ale funcției Z ( z ) și, astfel, k poate fi o variabilă discretă pentru condiții limită periodice sau o variabilă continuă condiții de margine non-periodice.
Înlocuim k 2 pentru , acum avem:
Z¨/Z{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+k2=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}Înmulțind cu ρ 2 , putem separa funcțiile P și Φ și putem introduce o nouă constantă n din motive similare cu k pentru termen, în funcție de φ :
Φ¨Φ=-nu2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} = - n ^ {2}}ρ2P¨P+ρP˙P+k2ρ2=nu2{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}Deoarece φ este periodic, putem lua n pozitiv și, prin urmare, vom indica soluțiile Φ ( φ ) cu indici. Soluțiile reale pentru Φ ( φ ) sunt
Φnu=cos(nuφ) otu păcat(nuφ){\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {sau} \ \ sin (n \ varphi)}sau, echivalent:
Φnu=eeunuφ otu e-eunuφ{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {or} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}Rămâne termenul P ( ρ ) , care urmează ecuației Bessel .
- dacă k este zero, dar nu n , soluțiile sunt:
Pnu(0,ρ)=ρnu otu ρ-nu{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {or} \ \ rho ^ {- n} \,}
- dacă k și n sunt ambele diferite de zero, soluțiile sunt:
P0(0,ρ)=lnρ otu 1{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {or} \ 1 \,}
- dacă k este un număr real, putem scrie o soluție reală sub forma:
Pnu(k,ρ)=Jnu(kρ) otu Danu(kρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {sau} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}
cu J n ( z ) și Y n ( z ) , funcții obișnuite Bessel.
- dacă k este un număr imaginar, putem scrie o soluție reală sub forma:
Pnu(k,ρ)=Eunu(|k|ρ) otu Knu(|k|ρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {or} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }
cu
I n ( z ) și
K n ( z ) , funcții Bessel modificate.
Armonicele cilindrice pentru ( k , n ) sunt, prin urmare, produsul acestor soluții, iar soluția generală la ecuația lui Laplace este o combinație liniară a acestora:
V(ρ,φ,z)=∑nu∫dkLAnu(k)Pnu(k,ρ)Φnu(φ)Z(k,z){\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}unde A n ( k ) sunt constante în funcție de forma cilindrică și de limitele sumei și integralei, date de condițiile limită ale problemei. Anumite cazuri de condiții la graniță fac posibilă înlocuirea integralei cu o sumă discretă. Ortogonalitatea lui J n ( x ) este adesea utilă pentru a găsi soluția într-un caz specific. Funcțiile Φ n ( φ ) Z ( k , z ) sunt în esență expansiuni Fourier sau Laplace și formează un set de funcții ortogonale. Pentru cazul P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , ortogonalitatea lui J n , cu relațiile de ortogonalitate ale lui Φ n ( φ ) și Z ( k , z ) permit determinarea constantelor.
Notând { x k } zerourile pozitive ale lui J n , avem:
∫01Jnu(Xkρ)Jnu(Xk′ρ)ρdρ=12Jnu+1(Xk)2δkk′{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}În rezolvarea problemelor, spațiul poate fi împărțit într-un număr finit de subspatii, atâta timp cât valorile potențialului și derivatei sale se potrivesc de-a lungul unei limite fără o sursă.
Exemplu: punctul sursă într-un tub cilindric conductiv
Căutăm să determinăm potențialul unei surse punctuale situate la ( ρ 0 , φ 0 , z 0 ) într-un tub cilindric conductiv (ca o cutie de tablă goală) delimitat de cele două planuri z = ± L și pe margini de cilindru ρ = a . (În unitățile MKS, vom presupune q / 4π ε 0 = 1 ). Deoarece potențialul este delimitat de planurile de pe axa z , funcția Z ( k , z ) poate fi presupusă a fi periodică. Potențialul trebuie să fie zero la origine, luăm P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , astfel încât unul dintre zerourile sale se află pe cilindrul limitator. Pentru un punct de măsurare sub punctul sursă pe axa z , potențialul va fi:
V(ρ,φ,z)=∑nu=0∞∑r=0∞LAnurJnu(knurρ)cos(nu(φ-φ0))sinh(knur(L+z))z≤z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}cu k nr a , r e zero al lui J n ( z ) și, prin relațiile de ortogonalitate pentru fiecare funcție:
LAnur=4(2-δnu0)la2sinhknur(L-z0)sinh2knurLJnu(knurρ0)knur[Jnu+1(knurla)]2{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}Deasupra punctului sursă, vom avea:
V(ρ,φ,z)=∑nu=0∞∑r=0∞LAnurJnu(knurρ)cos(nu(φ-φ0))sinh(knur(L-z))z≥z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (Lz)) \, \, \, \, \, z \ geq z_ {0}}LAnur=4(2-δnu0)la2sinhknur(L+z0)sinh2knurLJnu(knurρ0)knur[Jnu+1(knurla)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}Aflăm că pentru ρ = a sau | z | = L , funcția este anulată. De asemenea, putem verifica dacă valorile celor două soluții și derivatele lor coincid pentru z = z 0 .
Punctul sursă într-un tub cilindric conductiv infinit
Înlăturăm condițiile limită în z ( L → ). Soluția devine apoi:
V(ρ,φ,z)=∑nu=0∞∑r=0∞LAnurJnu(knurρ)cos(nu(φ-φ0))e-knur|z-z0|{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}LAnur=2(2-δnu0)la2Jnu(knurρ0)knur[Jnu+1(knurla)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {2 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}Punctul sursă în spațiul liber
Înlăturăm, de asemenea, condițiile limită la ρ ( a → ∞ ). Suma peste zerourile lui J n ( z ) devine o integrală și apoi vine câmpul unui punct sursă într-un spațiu liber infinit:
V(ρ,φ,z)=1R=∑nu=0∞∫0∞LAnu(k)Jnu(kρ)cos(nu(φ-φ0))e-k|z-z0|dk{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {R}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} A_ {n} (k) J_ {n} (k \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k | z-z_ {0} | } \, \ mathrm {d} k}LAnu(k)=(2-δnu0)Jnu(kρ0){\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}și R este distanța de la punctul sursă la punctul de măsurare:
R=(z-z0)2+ρ2+ρ02-2ρρ0cos(φ-φ0).{\ displaystyle R = {\ sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ varphi - \ varphi _ {0})}}. \,}
Punctul sursă în spațiul liber la origine
În cele din urmă, fixăm ρ 0 = z 0 = 0 . El vine atunci
V(ρ,φ,z)=1ρ2+z2=∫0∞J0(kρ)e-k|z|dk.{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}Vezi și tu
Note
-
Smythe 1968 , p. 185.
-
Guillopé 2010 .
-
Acest caz este studiat în Smythe 1968
Referințe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">