Fracția irațională

În matematică , o fracție este ireductibilă dacă nu există o fracție egală cu termeni mai mici. Cu alte cuvinte, o fracțiune ireductibilă nu poate fi simplificată.

Exemple

Fracția nu este ireductibilă deoarece 12 și 20 sunt multipli de 4: (simplificare cu 4). Putem scrie și . ${\ displaystyle {\ frac {12} {20}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {12} {20}} = {\ frac {3 \ times 4} {5 \ times 4}} = {\ frac {3} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {12} {20}} = {\ frac {12: 4} {20: 4}} = {\ frac {3} {5}}}$

Fracția este ireductibilă deoarece 1 este singurul număr întreg pozitiv care împarte atât 3 cât și 5. ${\ displaystyle {\ frac {3} {5}}}$

Metode de simplificare a unei fracții

Utilizarea criteriilor de divizibilitate

Putem simplifica o fracție împărțind succesiv termenii ei la divizorii lor comuni aparenți (pe care îi găsim prin aplicarea criteriilor de divizibilitate cu 2, 3, 5 etc. ).

Exemplu

{\ displaystyle {\ frac {42} {390}} = {\ frac {42: 2} {390: 2}} = {\ frac {21} {195}} = {\ frac {21: 3} {195 : 3}} = {\ frac {7} {65}}}

. Numerele 42 și 390 sunt pare, le putem împărți la 2. Suma cifrelor numărului 195 este multiplu de 3 (1 + 9 + 5 = 15). Deci 195 este multiplu de 3 . Și 21 este prea. Prin urmare, putem împărți aceste două numere la 3. Ultima fracție obținută este ireductibilă deoarece 1 este singurul număr întreg pozitiv care împarte atât 7, cât și 65.

Simplificare de către GCD

Pentru a reduce direct o fracție, pur și simplu împărțiți numărătorul și numitorul la cel mai mare divizor comun al acestora . Conform lemei lui Gauss , această formă redusă este unică.

Exemplu Pentru a reduce fracția , calculăm apoi simplificăm cu 6:

{\ displaystyle {\ frac {42} {390}}}

{\ displaystyle \ operatorname {PGCD} (42,390) = 6}

{\ displaystyle {\ frac {42} {390}} = {\ frac {6 \ times 7} {6 \ times 65}} = {\ frac {7} {65}}}

Teorema

Fie un număr întreg și un număr natural diferit de zero. Atunci este ireductibil dacă și numai dacă și sunt prime între ele . $la$ $b$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ $la$ $b$