Formula lui Grassmann

Formula Grassmann - Fie $F$ și $G$ două subspații ale aceluiași spațiu vectorial $E$ . Asa de

\ dim (F) + \ dim (G) = \ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G).

Dacă $F$ și $G$ au dimensiuni respective finite, rezultă că și $F + G$ și că

\ dim (F + G) = \ dim (F) + \ dim (G) - \ dim (F \ cap G).

Două demonstrații

În următoarele aplicații liniare : $0 \ to F \ cap G \ to F \ times G \ to F + G \ to 0,$ unde este a doua hartă și a treia , formează o succesiune scurtă exactă . Prin urmare, conform teoremei rangului (chiar și în dimensiune infinită) : $x \ mapsto (x, x)$ $(x, y) \ mapsto xy$ $\ dim (F \ cap G) + \ dim (F + G) = \ dim (F \ times G).$ Formula Grassmann rezultă din dim ( F × G ) = dim ( F ) + dim ( G ) .
O altă idee este să observăm analogia acestei formule cu următoarea (valabilă chiar și pentru mulțimi infinite) și să deducem din ea: ${\ text {card}} (A) + {\ text {card}} (B) = {\ text {card}} (A \ cup B) + {\ text {card}} (A \ cap B).$ Pentru a identifica termen cu termen această ecuație cu $\ dim (F) + \ dim (G) = \ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G),$ pentru a alege o bază de și să - l completeze într - o bază de pe de o parte și într - o bază de pe de altă parte: va fi atunci o bază de și va fi egală cu baza de $VS$ $F \ cap G$ $LA$ $F$ $B$ $G$ $A \ cup B$ $F + G$ $A \ cap B$ $VS$ $F \ cap G.$

Referințe