În algebra liniară , teorema bazei incomplete afirmă că, într-un spațiu vectorial E ,
În special, această teoremă afirmă că fiecare spațiu vectorial E admite o bază. Într-adevăr, vidul familial este gratuit și poate fi completat într-un E de bază . Acest rezultat al existenței, împreună cu teorema conform căreia toate bazele lui E au aceeași cardinalitate , conduce la definirea dimensiunii unui spațiu vectorial .
O afirmație mai generală a teoremei este următoarea:
Teorema bazei incomplete. Fie E un spațiu vector, G o parte generatoare a lui E și L o parte liberă. Atunci există F ⊂ G \ L, deoarece L ∪ F este un E de bază .
Teorema bazei incomplete, sau chiar numai a existenței unei baze pentru orice spațiu vectorial, este echivalentă cu axioma de alegere . Cu toate acestea, pentru spațiile generate finit, există dovezi ale existenței unei baze care nu necesită această axiomă.
Dovada teoremei bazei incomplete în cazul în care G este finit se bazează pe următorul algoritm :
Bucla se termină într-un număr finit de pași (deoarece adăugăm la fiecare pas un element din G diferit de cele anterioare și G este terminat). L este apoi o parte generator, deci un E de bază .
În cazul general, prima dovadă se datorează matematicianului Georg Hamel . O dovadă obișnuită folosește lema lui Zorn .
Orice subspatiu vectorial F al unui spatiu vectorial E are un subspatiu suplimentar in E : consideram o baza B a lui F care este completata de o baza B 'a lui E : spatiul generat de vectorii lui B' care nu sunt in B este un suplimentare F .
Această teoremă, adevărată pentru orice spațiu vectorial, nu se generalizează la niciun modul pe un inel . De exemplu, modulul ℤ / 2ℤ nu este liber , adică nu are o bază. Punctul crucial în demonstrațiile de mai sus (atât în cazul finit, cât și în cazul general) este acela că într-un spațiu vectorial peste un câmp comutativ (dar nu într-un modul peste orice inel , chiar și la fel de simplu ca ℤ / 2ℤ), atunci când adăugați unei familii gratuite un nou vector pe care nu îl generează, atunci noua familie este încă liberă.