Funcția beta

În matematică, funcția beta este una dintre cele două integrale Euler , definite pentru toate numerele complexe $x$ și $y$ ale părților reale strict pozitive prin:

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \ mathrm {d} t,}

și posibil extins analitic la întregul plan complex, cu excepția numerelor întregi negative.

Funcția beta a fost studiată de Euler și Legendre și își datorează numele lui Jacques Binet . Este legat de funcția gamma .

Există, de asemenea, o versiune incompletă a funcției beta, funcția beta incompletă , precum și o versiune regularizată a acesteia, funcția beta incompletă regularizată .

Proprietăți

În definiția sa în formă integrală, schimbarea variabilei $u = 1 - t$ demonstrează că această funcție este simetrică, adică că:

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}

Poate lua și formele integrale

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta ~ \ cos ^ {2y-1} \ theta ~ \ mathrm {d} \ theta}

(prin schimbarea variabilei ),

{\ displaystyle t = \ sin ^ {2} \ theta}

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {s ^ {y-1}} {(1 + s) ^ {x + y}} } ~ \ mathrm {d} s}

(prin schimbarea variabilei ).

{\ displaystyle t = {\ dfrac {1} {1 + s}}}

Acesta satisface ecuații funcționale, cum ar fi:

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y + 1) = {y \ over x + y} \ mathrm {B} (x, y)}

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) ~ \ mathrm {B} (x + y, 1-y) = {\ dfrac {\ pi} {x \ sin (\ pi y)}}}

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, x) = 2 ^ {1-2x} \ mathrm {B} \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x \ right)}

Este legată de funcția gamma prin următoarea ecuație:

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}

Dacă $x$ și $y$ sunt numere întregi strict pozitive, această ecuație poate fi rescrisă, în termeni de factori sau coeficient binomial : ${\ displaystyle {\ frac {x + y} {xy \ mathrm {B} (x, y)}} = {\ frac {(x + y)!} {x! ~ y!}} = {x + y \ alege x}}$ .

Dacă $x$ și $y$ sunt două raționale și dacă nici $x$ , nici $y$ , nici $x + y nu$ sunt întregi, atunci $Β ( x , y )$ este un număr transcendent .

Derivare

Derivații parțiali ai funcției beta folosesc ecuațiile funcționale văzute anterior:

{\ partial \ over \ partial x} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ Gamma '(x) \ over \ Gamma (x)} - { \ Gamma '(x + y) \ over \ Gamma (x + y)} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) (\ psi (x) - \ psi (x + y)),

unde $ψ ( x )$ este funcția digamma .

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left [(\ psi (x) - \ psi (x + y)) ^ {2} + (\ psi _ {1} (x) - \ psi _ {1} (x + y)) \ right],}

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over {\ partial x \ partial y}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left [(\ psi (x ) - \ psi (x + y)) (\ psi (y) - \ psi (x + y)) - \ psi _ {1} (x + y) \ right],}

unde $ψ n ( x )$ este funcția poligamma .

Funcția beta incompletă

Funcția beta incompletă este definită de:

\ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {{a-1}} \, (1-t) ^ {{b-1}} { \ mathrm d} t

și verificări banale :

$\ mathrm {B} (x; \, a + 1, b) + \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) = \ mathrm {B} (x; \, a, b) \ quad {{\ rm {și}}} \ quad x ^ {a} (1-x) ^ {b} = a \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) -b \ mathrm {B} (x; \, a + 1, b).$

Pentru $x = 1$ , corespunde funcției beta a parametrilor $a$ și $b$ .

Funcția beta incompletă regularizată este de a împărți funcția beta incompletă la funcția beta completă

I_ {x} (a, b) = {\ dfrac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.

Relațiile anterioare devin astfel

$aI_ {x} (a + 1, b) + bI_ {x} (a, b + 1) = (a + b) I_ {x} (a, b)$ $, \ quad I_ {x} (a, b + 1) -I_ {x} (a + 1, b) = x ^ {a} (1-x) ^ {b} {\ frac {a + b} { ab \ mathrm {B} (a, b)}}.$

Deducem din a doua (printr-o recurență imediată) următoarea legătură cu dezvoltarea binomului și legea binomului : $I_ {p} (a, n-a + 1) = \ sum _ {{j = a}} ^ {n} {n \ alege j} p ^ {j} (1-p) ^ {{nj}}.$

Note și referințe

Pentru o demonstrație, vezi de exemplu acest exercițiu corectat pe Wikiversitate .
(de) Theodor Schneider , „ Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale ” , J. queen angew. Matematica. , vol. 183,1941, p. 110-128 ( citește online ).
(în) Aslam Chaudhry și Syed M. Zubair , a fost clasa funcțiilor gamma incomplete cu aplicații , CRC Press ,2001( ISBN 978-1-58488-143-8 , citit online ) , p. 218.
(ro) Milton Abramowitz și Irene Stegun , Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice [ detaliile ediției ] ( citiți online ), § 6.6.

Link extern

(ro) Eric W. Weisstein , „ Funcția beta ” , pe MathWorld