Sfârșit (teoria categoriilor)

În matematică , un sfârșit al unui functor este o generalizare a conceptului de limită . Finalurile și dualurile lor, cofinele, sunt de obicei notate cu s de- a lungul integralei .

Noțiunea de final apare în mod natural în extensiile lui Kan în teoria categoriilor îmbogățite și în studiul acțiunilor asupra unei categorii . În special, sfârșitul unui functor, văzut ca un distribuitor , corespunde sub-obiectului  (en) pe care coincid acțiunea din dreapta și acțiunea din stânga.

Definiție

Să și pe categorii , și este un bifunctor . Sfârșitul lui F în X este datele: VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}F:VSop×VS→D{\ displaystyle F: C ^ {\ mathrm {op}} \ times C \ to D}

• a unui obiect e al lui D , asociat cu
• extranaturelle o conversie (denumită uneori "dinaturelle") universal E la F .

Este notat

∫vs.:VSF(vs.,vs.).{\ displaystyle \ int _ {c: C} F (c, c).}

Dacă codomainul D este o categorie completă  (în) , atunci există toate limitele mici și, la fel ca limitele , putem defini sfârșitul lui F ca egalizator al diagramei  :

∫vs.:VSF(vs.,vs.)⟶∏vs.:VSF(vs.,vs.)⇉∏vs.,vs.′:VSF(vs.,vs.′)VS(vs.,vs.′){\ displaystyle \ int _ {c: C} F (c, c) \ longrightarrow \ prod _ {c: C} F (c, c) \ rightrightarrows \ prod _ {c, c ': C} F (c, c ') ^ {C (c, c')}}

unde morfismul de sus este indus de precompunere iar cel de jos de postcompoziție . F(vs.,vs.)×VS(vs.,vs.′)→F(vs.,vs.′){\ displaystyle F (c, c) \ times C (c, c ') \ rightarrow F (c, c')}F(vs.′,vs.′)×VS(vs.,vs.′)→F(vs.,vs.′){\ displaystyle F (c ', c') \ times C (c, c ') \ rightarrow F (c, c')}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">