Set sub-nivel

În matematică , în special în analiză , în analiză convexă , în optimizare și în topologie diferențială ( teoria Morse ), un set de subnivele ale unei funcții definite pe un set cu valori în linia reală completată este setul de puncte în care este ia o valoare mai mică decât un anumit nivel : E{\ displaystyle \ mathbb {E}} R¯{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}ν∈R{\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {R}}

Sν(f): ={X∈E:f(X)⩽ν}.{\ displaystyle S _ {\ nu} (f): = \ {x \ in \ mathbb {E}: f (x) \ leqslant \ nu \}.}

Un set de subnivel particular este setul arg min de minimizatoare ale . X∈Ef(X){\ displaystyle _ {x \ in \ mathbb {E}} f (x)}f{\ displaystyle f}

Proprietăți

• O funcție definită pe un spațiu topologic cu valori în este închisă (spunem și semi-continuă mai jos ) dacă și numai dacă toate seturile sale de subnivele sunt închise .R¯{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}
• O funcție este cvasiconvexă dacă și numai dacă toate seturile sale de sub-nivel sunt convexe.

Bibliografie

• (ro) JM Borwein și AS Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization , Springer , New York, 2000
• (ro) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty și Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis , Springer,2004( 1 st  ed. 2001), 259  p. ( ISBN  978-3-540-42205-1 , citit online )
• (ro) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, New Jersey, Princeton University Press , col.  „Seria matematică Princeton” ( nr .  28),1970( citește online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">