Convergența variabilelor aleatorii
În teoria probabilității , există noțiuni diferite de convergență a variabilelor aleatorii . Convergența (într-unul dintre sensurile descrise mai jos) a secvențelor variabilelor aleatorii este un concept important al teoriei probabilității, utilizat în special în statistici și în studiul proceselor stochastice . De exemplu, media n variabile aleatorii independente și distribuite identic converge aproape sigur la așteptarea comună a acestor variabile aleatoare (dacă există). Acest rezultat este cunoscut ca legea puternică a numărului mare .
În acest articol, presupunem că ( X n ) este o succesiune de variabile aleatoare reale , că X este o variabilă reală aleatorie și că toate aceste variabile sunt definite pe același spațiu de probabilitate .
(Ω,F,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}
Convergența în drept
Să F 1 , F 2 , ... rezultatul a funcțiilor de distribuție
asociate cu variabile aleatoare X 1 , X 2 , ... , și F funcția de distribuție a reale variabila aleatoare X . Cu alte cuvinte, F n este definit de F n ( x ) = P ( X n ≤ x ) și F de F ( x ) = P ( X ≤ x ) .
Secvența X n converge la X în lege sau în distribuție , dacă
limnu→∞Fnu(la)=F(la),{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} F_ {n} (a) = F (a),}pentru toate reale
o în cazul în care
F este
continuă .
Deoarece F ( a ) = P ( X ≤ a ) , aceasta înseamnă că probabilitatea ca X să aparțină unui anumit interval este foarte apropiată de probabilitatea ca X n să fie în acest interval pentru n suficient de mare. Se observă adesea convergența în drept
Xnu→LX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X}
sau
Xnu→dX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {d}} X}
Convergența în drept este cea mai slabă formă în sensul că, în general, nu implică celelalte forme de convergență definite mai jos, în timp ce aceste alte forme de convergență implică convergența în drept. Acest tip de convergență este folosit în teorema limitei centrale .
În mod echivalent, secvența ( X n ) converge în drept la X dacă și numai dacă pentru orice funcție continuă mărginită
limnu→∞E[f(Xnu)]=E[f(X)].{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {E} [f (X_ {n})] = \ mathbb {E} [f (X)].}
Teorema Levy continuitate - Fie φ n ( t ) funcția caracteristică a X n și φ ( t ) , care a X . Asa de
{∀t∈R:φnu(t)→φ(t)}⇔{Xnu→LX}{\ displaystyle \ left \ {\ forall t \ in \ mathbb {R}: \ varphi _ {n} (t) \ to \ varphi (t) \ right \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {X_ { n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X \ right \}}.
Cu alte cuvinte, ( X n ) converge în distribuție la X dacă și numai dacă funcția caracteristică a variabilei aleatoare reale X n converge pur și simplu la funcția caracteristică a variabilei aleatoare reale X .
Exemplu: teorema limitei centrale:
Media unei serii de variabile aleatoare pătrate centrate și integrabile, independente și de aceeași lege, odată renormalizată de √ n converge în lege către legea normală
nuX¯nu→LNU(0,σ2).{\ displaystyle {\ sqrt {n}} {\ bar {X}} _ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2}). }
Exemplu: convergența legii studentului:
De distribuție Student parametru k converge, atunci când k tinde să + ∞ , la legea Gauss :
t(k)→LNU(0,1).{\ displaystyle \ mathrm {t} (k) {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} {\ mathcal {N}} (0,1).}În acest caz, putem folosi și lema lui Scheffé , care este un criteriu de convergență a unei serii de variabile aleatorii de densitate către o variabilă aleatorie de densitate .
Exemplu: legea degenerată:
Secvența converge în drept către o variabilă aleatorie X 0 cunoscută sub numele de degenerată, care ia o singură valoare (0) cu probabilitatea 1 (uneori vorbim despre masa Dirac în 0, notat δ 0 ):
NU(0,1nu){\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ left (0, {\ frac {1} {n}} \ right)}
P(X0≤X)=δ0(]-∞,X])={0 dacă X<0,1 dacă X≥0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {0} \ leq x) = \ delta _ {0} \ left (] - \ infty, x] \ right) = {\ begin {cases} 0 & {\ text { si}} x <0, \\ 1 & {\ text {si}} x \ geq 0. \ end {cases}}}
Convergență în probabilitate
Definiție -
Fie ( X n ) n o serie de variabile aleatoare reale definite pe același spațiu de probabilitate . Spunem că X n converge la X în probabilitate dacă
(Ω,LA,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}
∀ε>0,limnu→∞P(|Xnu-X|≥ε)=0.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {P} \ left (\ left | X_ {n} -X \ right | \ geq \ varepsilon \ right) = 0.}
Uneori observăm
Xnu→pX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {p}} X}
sau
Xnu→PX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {P}}} X}
Lemă -
Dacă avem următoarele convergențe, respectiv în ( E , d ) și înR{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Xnu→(d)Xșid(Xnu,Danu)→(d)0{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow [{}] {(d)}} X \ qquad {\ text {et}} \ qquad d (X_ {n}, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{} ] {(d)}} 0}
deci avem
(Xnu,Danu)→(d)(X,X){\ displaystyle (X_ {n}, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{}] {(d)}} (X, X)}
în spațiul E × E prevăzut cu distanța infinită.
Demonstrație
Să F un închis E × E . Pentru toate ε > 0 denotăm
Fε: ={(X,y)∈E×E:d∞((X,y),F)≤ε}{\ displaystyle F _ {\ varepsilon}: = \ {(x, y) \ în E \ times E: d _ {\ infty} ((x, y), F) \ leq \ varepsilon \}}
Asa de
P((Xnu,Danu)∈F)≤P((Xnu,Xnu)∈Fϵ)+P(d(Xnu,Danu)≥ϵ){\ displaystyle \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ în F) \ leq \ mathbb {P} ((X_ {n}, X_ {n}) \ în F _ {\ epsilon }) + \ mathbb {P} (d (X_ {n}, Y_ {n}) \ geq \ epsilon)}
Pase limsup se obține utilizând cele două ipoteze , iar 3 e punctul cremaliera strat teorema
lim supnuP((Xnu,Danu)∈F)≤P((X,X)∈Fϵ){\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ în F) \ leq \ mathbb {P} ((X, X) \ în F _ {\ epsilon })}
apoi făcând ε să tindă spre 0, deoarece F este închis
lim supnuP((Xnu,Danu)∈F)≤P((X,X)∈F{\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ în F) \ leq \ mathbb {P} ((X, X) \ în F}
Încheiem folosind din nou punctul 3 al teoremei suportului.
Proprietate -
Dacă X n converge la X în probabilitate, atunci X n converge la X în drept .
Demonstrație
Este o consecință a lemei anterioare luând X n = X și observând că convergența în drept
d(X,Danu)→(d)0{\ displaystyle d (X, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{}] {(d)}} 0}
in este echivalent cu convergența în probabilitate
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Danu→PX{\ displaystyle Y_ {n} {\ xrightarrow [{}] {\ mathbb {P}}} X}
în ( E , d ) .
În caz contrar, puteți proceda după cum urmează. Să începem prin a afirma o lemă.
Lemă -
Fie X , Y variabile aleatoare reale, c a reale și ε > 0 . Asa de
P(Da≤vs.)≤P(X≤vs.+ε)+P(X-Da>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ leq c) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq c + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (XY> \ varepsilon)}
Într-adevăr, este suficient să observăm că:
{Da≤vs.}⊂{X≤vs.+ε}∪{X>vs.+ε,Da≤vs.}{\ displaystyle \ {Y \ leq c \} \ subset \ {X \ leq c + \ varepsilon \} \ cup \ {X> c + \ varepsilon, Y \ leq c \}}
Inegalitatea urmează în mod natural.
Pentru toate ε > 0 , datorită acestei leme, avem:
P(Xnu≤la)≤P(X≤la+ε)+P(|Xnu-X|>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} \ leq a) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq a + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ dreapta |> \ varepsilon)}
P(X≤la-ε)≤P(Xnu≤la)+P(|Xnu-X|>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq a- \ varepsilon) \ leq \ mathbb {P} (X_ {n} \ leq a) + \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ dreapta |> \ varepsilon)}
Deci avem
P(X≤la-ε)-P(|Xnu-X|>ε)≤P(Xnu≤la)≤P(X≤la+ε)+P(|Xnu-X|>ε).{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq a- \ varepsilon) - \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ right |> \ varepsilon) \ leq \ mathbb {P} (X_ { n} \ leq a) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq a + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ right |> \ varepsilon).}Fie este un punct de continuitate a F X . Fixăm un ε ' > 0 real . Prin continuitatea lui F X la a , există un real ε > 0 astfel încât
|P(X⩽la+ε)-P(X⩽la)|<ε′et|P(X⩽la-ε)-P(X⩽la)|<ε′{\ displaystyle | \ mathbb {P} (X \ leqslant a + \ varepsilon) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <\ varepsilon '\ mathrm {și} | \ mathbb {P} (X \ leqslant a - \ varepsilon) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <\ varepsilon '}.
Convergența ( X n ) n în probabilitate de X , se poate deduce existența unui întreg N astfel încât: dacă n ≥ N .
P(|Xnu-X|>ε)<ε′{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ right |> \ varepsilon) <\ varepsilon '}
În cazul în care: .
∀nu∈NU,nu⩾NU⇒|P(Xnu⩽la)-P(X⩽la)|<2ε′{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, n \ geqslant N \ Rightarrow | \ mathbb {P} (X_ {n} \ leqslant a) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <2 \ varepsilon '}
Teorema lui Slutsky - Dacă X n converge în drept la X și dacă Y n converge în probabilitate la o constantă c , atunci perechea ( X n , Y n ) converge în drept la perechea ( X , c ) .
Convergență aproape sigură
Definiție -
Spunem că X n converge aproape sigur la X dacă
P(limnu→∞Xnu=X)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} X_ {n} = X \ right) = 1}
sau într-un mod echivalent, dacă există un - subset mult neglijabil N ⊂ Ω astfel încât
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
∀ω∈Ω∖NU,Xnu(ω)→nu→∞X(ω){\ displaystyle \ forall \ omega \ in \ Omega \ setminus N, \ qquad X_ {n} (\ omega) {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} X (\ omega)}
De asemenea, vorbim despre convergență aproape peste tot sau cu probabilitatea 1 sau mare și scriem
Xnu→p.s.X{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {ps}} X}
sau, în engleză (pentru aproape sigur )
Xnu→la.s.X{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {as}} X}
Convergența aproape sigură este rescrisă ca:
∀ε>0,P(lim infnu{|Xnu-X|<ε})=1{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ left (\ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \} \ right) = 1}
sau
∀ε>0,P(lim supnu{|Xnu-X|>ε})=0{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \} \ right) = 0}
sau
lim infnu{|Xnu-X|<ε}: =⋃NU∈NU⋂nu≥NU{|Xnu-X|<ε}={|Xnu-X|<ε la merge de o anumit rang}{\ displaystyle \ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \}: = \ bigcup _ {N \ in \ mathbb {N}} \ bigcap _ {n \ geq N} \ { | X_ {n} -X | <\ varepsilon \} = \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \ {\ textrm {a}} \ {\ textrm {start}} \ {\ textrm {d ' a}} \ {\ textrm {certain}} \ {\ textrm {rang}} \}}
lim supnu{|Xnu-X|>ε}: =⋂NU∈NU⋃nu≥NU{|Xnu-X|>ε}={|Xnu-X|>ε infinit de multe ori.}{\ displaystyle \ limsup _ {n} \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \}: = \ bigcap _ {N \ in \ mathbb {N}} \ bigcup _ {n \ geq N} \ { | X_ {n} -X |> \ varepsilon \} = \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \ {\ textrm {infinit}} \ {\ textrm {often}}. \}}
Teorema - În cazul în care X n converge la X aproape sigur , atunci X n converge la X în probabilitate .
Demonstrație
După lema lui Fatou , avem pentru toți ε > 0 :
lim infnuP(|Xnu-X|<ε)≥P(lim infnu{|Xnu-X|<ε})=1{\ displaystyle \ liminf _ {n} \ mathbb {P} (| X_ {n} -X | <\ varepsilon) \ geq \ mathbb {P} \ left (\ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \} \ right) = 1}
Convergența aproape sigură este utilizată în legea puternică a numărului mare .
Convergența medie a ordinii r
Definiție -
Fie r > 0 și ( X n ) n o serie de variabile reale aleatorii definite pe același spațiu de probabilitate . Spunem că X n converge la X ca o medie de ordine r sau ca o normă L r dacă pentru toate n și dacă
(Ω,LA,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P \ right)} E(|Xnu|r)<+∞{\ displaystyle E (| X_ {n} | ^ {r}) <+ \ infty}
limnu→∞E(|Xnu-X|r)=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} E \ left (\ left | X_ {n} -X \ right | ^ {r} \ right) = 0}
Uneori observăm .
Xnu→LrX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {L} ^ {r}}} X}
Pentru r = 1, vorbim pur și simplu despre convergență medie și pentru r = 2 din convergența pătrată medie a rădăcinii .
Proprietate -
Pentru r > s ≥ 1, convergența normelor implică convergența normelor .
Lr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}Ls{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {s}}
Demonstrație
Este o aplicație simplă a inegalității lui Jensen cu funcția convexăX↦Xr/s{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {r / s}}
Pentru r = 2, avem următorul rezultat:
Proprietate -
Fie c o constantă reală. Atunci avem
Xnu→L2vs.{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {L} ^ {2}}} c}
dacă și numai dacă
limnu→∞E[Xnu]=vs.șilimnu→∞Var[Xnu]=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mathbb {E} [X_ {n}] = c \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname { Var} [X_ {n}] = 0}
Demonstrație
Aceasta urmează următoarea identitate:
E[(Xnu-vs.)2]=Var(Xnu)+(E[Xnu]-vs.)2{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [(X_ {n} -c) ^ {2} \ right] = \ operatorname {Var} (X_ {n}) + \ left (\ mathbb {E} [X_ { n}] - c \ right) ^ {2}}
Proprietate -
Dacă X n converge la X în norma L r , atunci X n converge la X în probabilitate .
Demonstrație
Este o aplicație directă a inegalității Markov pentru variabilele reale aleatorii care admit un moment de ordine r :
P(|Xnu-X|≥ε)≤E[|Xnu-X|r]εr{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | X_ {n} -X \ right | \ geq \ varepsilon \ right) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} [\ left | X_ {n} - X \ right | ^ {r}]} {\ varepsilon ^ {r}}}}
Exemplu:
Legea slabă a numărului mare este o consecință directă a acestor ultime două proprietăți
Convergența unei funcții a unei variabile aleatorii
O teoremă foarte practică, denumită în general în engleză ca teorema de mapare (en) , afirmă că o funcție continuă g aplicată unei variabile care converge la X va converge la g ( X ) pentru toate modurile de convergență:
Teorema - ( Teorema mapării ) Fie o funcție continuă în orice punct al unui set C astfel încât :
g:Rk→Rm{\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}P(X∈VS)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ în C) = 1}
- Dacă ;Xnu→LX asa de g(Xnu)→Lg(X){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} g (X)}
- Dacă ;Xnu→pX asa de g(Xnu)→pg(X){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {p}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {p}} g (X)}
- Da .Xnu→p.sX asa de g(Xnu)→p.s.g(X){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {ps}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {ps}} g (X)}
Exemplu:
În statistici , un estimator convergent al varianței σ 2 este dat de:
snu-12≡1nu-1∑eu=1nu(yeu-y¯)2{\ displaystyle s_ {n-1} ^ {2} \ equiv {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (y_ {i} - {\ overline {y}} \ right) ^ {2}}.
Atunci știm din teorema continuă cartografiere că estimatorul a abaterii standard σ = √ σ 2 este convergentă, deoarece rădăcină funcția este o funcție continuă.snu-12{\ displaystyle {\ sqrt {s_ {n-1} ^ {2}}}}
Implicații reciproce
Pentru a recapitula, avem lanțul de implicație între diferitele noțiuni de convergență a variabilelor aleatorii:
→Ls⇒s>r≥1→Lr⇓→p.s.⇒→ p ⇒→ d {\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ xrightarrow {L ^ {s}}} & {\ underset {s> r \ geq 1} {\ Rightarrow}} & {\ xrightarrow {L ^ {r}}} && \\ && \ Downarrow && \\ {\ xrightarrow {ps}} & \ Rightarrow & {\ xrightarrow {\ p \}} & \ Rightarrow & {\ xrightarrow {\ d \}} \ end {matrix}}}
Convergența în probabilitate nu implică nici convergență, nici convergență aproape sigură, așa cum arată următorul exemplu:
Lr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}
Exemplu:
Fie r > 0 . Considerăm ( X n ) n ≥ 1 o succesiune de variabile aleatoare independente astfel încât
P(Xnu=nu1/r)=1nușiP(Xnu=0)=1-1nu{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = {\ frac {1} {n}} \ qquad {\ text {și}} \ qquad \ mathbb {P} ( X_ {n} = 0) = 1 - {\ frac {1} {n}}}
Secvența ( X n ) n converge în probabilitate la 0 deoarece
∀ε>0,∀nu≥ε,P(|Xnu|≥ε)=P(Xnu=nu1/r)=1nu→0{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ forall n \ geq \ varepsilon, \ qquad \ mathbb {P} (| X_ {n} | \ geq \ varepsilon) = \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = {\ frac {1} {n}} \ to 0}
Pe de altă parte, ea nu converge pentru căLr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}E[Xnur]=1↛0{\ displaystyle \ mathbb {E} [X_ {n} ^ {r}] = 1 \ nrightarrow 0}
Să arătăm că nici ea nu converge aproape sigur. Dacă acesta ar fi cazul, limita sa aproape sigură ar fi în mod necesar limita sa de probabilitate, și anume 0. Acum, din moment ce și din moment ce variabilele aleatoare X n sunt independente, avem prin legea lui Borel zero-unu :
∑nuP(Xnu=nu1/r)=+∞{\ displaystyle \ sum _ {n} \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = + \ infty}
P(lim supnu{Xnu=nu1/r})=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} \ {X_ {n} = n ^ {1 / r} \} \ right) = 1}
adică aproape sigur X n = n 1 / r pentru o infinitate de n . Deci, aproape sigur, A fortiori X n converge aproape sigur la 0.
lim supnuXnu=+∞.{\ displaystyle \ limsup _ {n} X_ {n} = + \ infty.}
Exemplu:
În exemplul anterior, pentru a evita recurgerea la legea zero a lui Borel, putem defini în mod explicit secvența X n după cum urmează. Alegem Ω = [0; 1] prevăzută cu tribul său borelian și măsura Lebesgue . Pozăm , pentru , atunci
la1: =0{\ displaystyle a_ {1}: = 0}lanu: =12+⋯+1nu(mod1){\ displaystyle a_ {n}: = {\ frac {1} {2}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} {\ pmod {1}}}nu≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
Eunu: ={[lanu-1,lanu]dacă lanu-1<lanu[0,lanu]∪[lanu-1,1]dacă lanu-1>lanu{\ displaystyle I_ {n}: = \ left \ {{\ begin {matrix} \ left [a_ {n-1}, a_ {n} \ right] & {\ text {si}} a_ {n-1} <a_ {n} \\\ left [0, a_ {n} \ right] \ cup \ left [a_ {n-1}, 1 \ right] & {\ text {si}} a_ {n-1}> a_ {n} \ end {matrix}} \ right.}
În cele din urmă definim
Xnu(ω): ={nu1/rdacă ω∈Eunu0dacă ω∉Eunu{\ displaystyle X_ {n} (\ omega): = \ left \ {{\ begin {matrix} n ^ {1 / r} & {\ text {si}} \ omega \ în I_ {n} \\ 0 & {\ text {si}} \ omega \ notin I_ {n} \ end {matrix}} \ right.}
X n astfel definite nu sunt independente , ci ele verifică ca și în exemplul anterior
P(lim supnu{Xnu=nu1/r})=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} \ {X_ {n} = n ^ {1 / r} \} \ right) = 1}
Cu câteva excepții, aceste implicații nu au reciprocitate, strict vorbind. Cu toate acestea, iată câteva proprietăți utile care ar putea fi descrise ca „aparență de reciprocitate”:
- Dacă X n converge în drept către o constantă reală c , atunci X n converge în probabilitate către c .
- În cazul în care X n converge în probabilitate de X , atunci exista un subsir care converge aproape sigur la X .Xσ(nu){\ displaystyle X _ {\ sigma (n)}}
- Dacă X n converge în probabilitate la X și dacă pentru toate n și un anumit b , atunci X n converge în medie de ordinul r la X pentru toate r ≥ 1 . Mai general, dacă X n converge în probabilitate la X și dacă familia ( XP(|Xnu|≤b)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (| X_ {n} | \ leq b) = 1}p
n) Este uniform integrabile, atunci X n converge în medie de ordin p la X .
- Dacă pentru toate ε > 0 ,
∑nuP(|Xnu-X|>ε)<∞,{\ displaystyle \ sum _ {n} \ mathbb {P} \ left (| X_ {n} -X |> \ varepsilon \ right) <\ infty,}
atunci X n converge aproape sigur la X . Cu alte cuvinte, în cazul în care X n converge în probabilitate de X suficient de repede ( i . E . Cele de mai sus converge serie pentru toate ε > 0 ) , atunci X n converge aproape sigur ca X . Acest lucru rezultă dintr-o aplicare directă a teoremei Borel-Cantelli .
- Fie ( X n ) n ≥ 1 o secvență de variabile aleatoare reale independente. Pentru toate n , stabilim:
Snu=X1+⋯+Xnu{\ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + \ cdots + X_ {n}}.
Atunci convergența aproape sigură a secvenței ( S n ) n ≥ 1 este echivalentă cu convergența sa în probabilitate; cu alte cuvinte, convergența aproape sigură a seriei termenului general X n este echivalentă cu convergența sa în probabilitate.
Note și referințe
-
Pentru mai multe detalii despre acest exemplu, a se vedea Davidson și McKinnon 1993 , cap. 4.
-
Vaart 1998 , p. 7.
Bibliografie
- (ro) Russell Davidson și James McKinnon ( tradus din germană), Estimation and Inference in Econometrics , New York, Oxford University Press ,1993, 874 p. ( ISBN 978-0-19-506011-9 , LCCN 92012048 ) , p. 874
- (en) GR Grimmett și DR Stirzaker , Probability and Random Processes , Oxford, Clarendon Press,1992, A 2 -a ed. ( ISBN 0-19-853665-8 ) , p. 271-285
- (ro) Adrianus Willem van der Vaart ( traducere din germană), Statistici asimptotice , Cambridge, Cambridge University Press ,1998, 1 st ed. , 443 p. , Hardcover ( ISBN 978-0-521-49603-2 , LCCN 98015176 ) , p. 443
linkuri externe
-
[1] : Curs 1 an la școala centrală din Paris privind convergența variabilelor aleatorii