Teorema portbagajului
În matematică , teorema portmanteau , teorema Portmanteau sau a raftului este o teoremă a probabilității care oferă o listă de caracterizări ale convergenței în distribuția unei secvențe de variabile aleatorii .
Convergența în drept
Fie X o variabilă aleatorie și fie o secvență de variabile aleatoare, toate cu valori în același spațiu metric (E, d) .
(Xnu)nu≥1 {\ displaystyle \ left (X_ {n} \ right) _ {n \ geq 1} \}
Definiție - Spunem că secvența converge în drept în X dacă, pentru orice funcție continuă mărginită pe E ,
(Xnu)nu≥1 {\ displaystyle \ left (X_ {n} \ right) _ {n \ geq 1} \} φ {\ displaystyle \ varphi \}
limnuE[φ(Xnu)] = E[φ(X)].{\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X_ {n}) \ right] \ = \ \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X) \ right].}
Convergența în drept este adesea notată prin adăugarea literei deasupra săgeții de convergență:
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
Xnu→LX.{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X.}
State
Teorema Coat Rack - Următoarele cinci afirmații sunt echivalente:
-
X n converge în drept la X ;
- pentru orice funcție delimitată și uniformă continuă pe E ,φ{\ displaystyle \ varphi}
limnuE[φ(Xnu)] = E[φ(X)]{\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X_ {n}) \ right] \ = \ \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X) \ right]} ;
- pentru orice F închis al lui E ,
lim supnuP(Xnu∈F) ≤ P(X∈F){\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in F \ right) \ \ leq \ \ mathbb {P} \ left (X \ in F \ right)} ;
- pentru orice O deschis de E ,
lim infnuP(Xnu∈O) ≥ P(X∈O){\ displaystyle \ liminf _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in O \ right) \ \ geq \ \ mathbb {P} \ left (X \ in O \ right)} ;
- pentru orice borelian A din E astfel încât ,P(X∈∂LA)=0{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X \ in \ partial A \ right) = 0}
limnuP(Xnu∈LA) = P(X∈LA){\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in A \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (X \ in A \ right)}.
Aici denotă frontiera , sau placa de A .
∂LA{\ displaystyle \ partial A}
Rezultat
Din punct de vedere practic, proprietățile 2-5 sunt rareori folosite pentru a demonstra convergența în drept, dar proprietatea 5 este cu siguranță o consecință importantă a convergenței în drept. Pe de o parte, proprietatea 5 prefigurează teorema hărții continue (en) ; Mai mult, proprietatea 5 are un caz particular de utilizare frecventă, în cazul în care S este linia reală :
Propozitia - În cazul în care X n converge în dreptul la X , atunci, cât mai curând funcția de distribuție F a X este continuă în x , avem:
limnu Fnu(X) = F(X){\ displaystyle \ lim _ {n} \ F_ {n} (x) \ = \ F (x)},
unde F n denotă funcția de distribuție a lui X n .
Demonstrație
Prin definiția unei funcții de distribuție, proprietatea
limnu Fnu(X) = F(X){\ displaystyle \ lim _ {n} \ F_ {n} (x) \ = \ F (x)},
este scris sub forma:
limnuP(Xnu∈LAX) = P(X∈LAX){\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in A_ {x} \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (X \ in A_ {x} \ right )}},
atâta timp cât alegem
LAX = ]-∞,X]{\ displaystyle A_ {x} \ = \] - \ infty, x]}.
in caz contrar
∂LAX = {X}{\ displaystyle \ partial A_ {x} \ = \ \ {x \}}.
Deci ,
P(X∈∂LAX) = P(X=X) = F(X)-F(X-){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X \ in \ partial A_ {x} \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (X = x \ right) \ = \ \ F (x) -F (X _ {-})},
care este zero dacă și numai dacă F este continuu la stânga la x , adică dacă și numai dacă F este continuu la x ( într-adevăr , o funcție de distribuție este continuă peste tot în dreapta).
Această propoziție este de fapt o echivalență și servește adesea, în cazul variabilelor reale aleatorii, ca definiție a convergenței în drept. Într-adevăr, din punct de vedere pedagogic, face posibilă utilizarea eficientă a acestei noțiuni fără a fi fost nevoie să construiți în prealabil teoria măsurării.
Dovada teoremei suportului pentru haine
Această demonstrație este adaptată din Billingsley 1999 , p. 16-17.
1 unitate 2
da
limnuE[φ(Xnu)] = E[φ(X)]{\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X_ {n}) \ right] \ = \ \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X) \ right]}
este valabil și pentru orice funcție mărginită și continuă pe E , atunci acest lucru este valabil mai ales pentru orice funcție mărginită și uniform continuu E .
φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}
2 duce la 3
Să F o închisă de E . Pentru toate , observăm
k≥1{\ displaystyle k \ geq 1}
Fk : = {X∈E∣d(X,F)≤1k}{\ displaystyle F_ {k} \: = \ \ left \ {x \ in E \ mid d (x, F) \ leq {\ tfrac {1} {k}} \ right \}}.
În plus, pentru tot și , cerem
X∈E{\ displaystyle x \ în E}k>0{\ displaystyle k> 0}
φk(X) : = f(kd(X,F))= {1-kd(X,F)dacă X∈Fk0dacă X∉Fk{\ displaystyle \ varphi _ {k} (x) \: = \ f \ left (k \, d (x, F) \ right) = \ {\ begin {cases} 1-k \, d (x, F ) & {\ textrm {si}} \ x \ în F_ {k} \\ 0 & {\ textrm {si}} \ x \ notin F_ {k} \ end {cases}}}
unde este definit de figura opusă. Asa de,
f{\ displaystyle f}
1F ≤ φk ≤ 1Fk{\ displaystyle 1_ {F} \ \ leq \ \ varphi _ {k} \ \ leq \ 1_ {F_ {k}}}.
De atunci , avem
1F ≤ φk{\ displaystyle 1_ {F} \ \ leq \ \ varphi _ {k}}
lim supnuP(Xnu∈F)≤ lim supnuE[φk(Xnu)]{\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in F \ right) \ leq \ \ limsup _ {n} \ mathbb {E} \ left [\ varphi _ {k} (X_ {n}) \ dreapta]}.
Deoarece funcțiile și sunt 1-Lipschitzian , este uniform continuu și prin ipoteza 2
f{\ displaystyle f}X↦d(X,F){\ displaystyle x \ mapsto d (x, F)}φk{\ displaystyle \ varphi _ {k}}
lim supnuE[φk(Xnu)] = limnuE[φk(Xnu)] = E[φk(X)]{\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {E} \ left [\ varphi _ {k} (X_ {n}) \ right] \ = \ \ lim _ {n} \ mathbb {E} \ left [\ varphi _ {k} (X_ {n}) \ right] \ = \ \ mathbb {E} \ left [\ varphi _ {k} (X) \ right]}.
Din , deducem că
φk ≤ 1Fk {\ displaystyle \ varphi _ {k} \ \ leq \ 1_ {F_ {k}} \}
E[φk(X)]≤P(X∈Fk){\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ varphi _ {k} (X) \ right] \ leq \ mathbb {P} \ left (X \ în F_ {k} \ right)}.
Prin urmare, pentru orice ,
k≥1{\ displaystyle k \ geq 1}
lim supnuP(Xnu∈F)≤ P(X∈Fk){\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in F \ right) \ leq \ \ mathbb {P} \ left (X \ in F_ {k} \ right)}.
În sfârșit, așa cum este în scădere și așa , avem
(Fk)k{\ displaystyle (F_ {k}) _ {k}}⋂k≥1Fk=F¯=F{\ displaystyle \ bigcap _ {k \ geq 1} F_ {k} = {\ overline {F}} = F}
infkP(X∈Fk) = limkP(X∈Fk) = P(X∈F){\ displaystyle \ inf _ {k} \ mathbb {P} \ left (X \ in F_ {k} \ right) \ = \ \ lim _ {k} \ mathbb {P} \ left (X \ in F_ {k } \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (X \ in F \ right)},
de aici rezultatul.
3 și 4 sunt echivalente
Să presupunem că punctul 3 adevărat, ia în considerare o deschisă O a E . Atunci O c este închis și avem, în virtutea, printre altele, punctul 3:
lim infnuP(Xnu∈O)=lim infnu(1-P(Xnu∈Ovs.))=1-lim supnuP(Xnu∈Ovs.)≥ 1-P(X∈Ovs.)=P(X∈O).{\ displaystyle {\ begin {align} \ liminf _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in {\ mathcal {O}} \ right) & = \ liminf _ {n} \ left ( 1- \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in {\ mathcal {O}} ^ {c} \ right) \ right) \\ & = 1- \ limsup _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in {\ mathcal {O}} ^ {c} \ right) \\ & \ geq \ 1- \ mathbb {P} \ left (X \ in {\ mathcal {O}} ^ {c} \ right) \\ & = \ mathbb {P} \ left (X \ in {\ mathcal {O}} \ right). \ end {align}}}
Dovada „ 4 implică 3 ” este identică.
3 și 4 duc la 5
Fie A un borelian al lui E astfel încât
P(X∈∂LA)=0{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X \ in \ partial A \ right) = 0}.
La fel de
LA ∘⊂LA⊂LA¯=LA ∘∪∂LA{\ displaystyle {\ stackrel {\ \ circ} {A}} \ subset A \ subset {\ overline {A}} = {\ stackrel {\ \ circ} {A}} \ cup \ partial A},
deducem că
P(X∈LA¯) = P(X∈LA) = P(X∈LA ∘){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X \ in {\ overline {A}} \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (X \ in A \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (X \ in {\ stackrel {\ \ circ} {A}} \ right)}.
Cu toate acestea, conform punctului 3
lim supnuP(Xnu∈LA)≤lim supnuP(Xnu∈LA¯)≤P(X∈LA¯){\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in A \ right) \ leq \ limsup _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in { \ overline {A}} \ right) \ leq \ mathbb {P} \ left (X \ in {\ overline {A}} \ right)}
și conform punctului 4
lim infnuP(Xnu∈LA)≥lim infnuP(Xnu∈LA ∘)≥P(X∈LA ∘){\ displaystyle \ liminf _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in A \ right) \ geq \ liminf _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in { \ stackrel {\ \ circ} {A}} \ right) \ geq \ mathbb {P} \ left (X \ in {\ stackrel {\ \ circ} {A}} \ right)}.
In cele din urma,
limnuP(Xnu∈LA)=P(X∈LA){\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in A \ right) = \ mathbb {P} \ left (X \ in A \ right)}.
5 rezultate în 1
Să începem prin a ne ocupa de cazul în care este o funcție continuă și mărginită, astfel încât . Asa de :
ψ{\ displaystyle \ psi}0<ψ<1{\ displaystyle 0 <\ psi <1}
- ca ,0<ψ<1{\ displaystyle 0 <\ psi <1}E[ψ(X)]=∫01P[ψ(X)>X]dX{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ psi (X) \ right] = \ int _ {0} ^ {1} \ mathbb {P} \ left [\ psi (X)> x \ right] \, \ mathrm {d} x}și același lucru pentru ;Xnu{\ displaystyle X_ {n}}
- așa cum este continuă, prin urmareψ{\ displaystyle \ psi}∂ψ-1(]X,+∞[)⊂ψ-1({X}){\ displaystyle \ partial \ psi ^ {- 1} (\ left] x, + \ infty \ right [) \ subset \ psi ^ {- 1} (\ left \ {x \ right \})}
P(X∈∂ψ-1(]X,+∞[))=0{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X \ in \ partial \ psi ^ {- 1} (\ left] x, + \ infty \ right [) \ right) = 0}cu excepția unui set de valori dintre cele mai numărabileD0{\ displaystyle D_ {0}}X{\ displaystyle x}
și în același mod, pentru orice ,nu≥1{\ displaystyle n \ geq 1}
P(Xnu∈∂ψ-1(]X,+∞[))=0{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in \ partial \ psi ^ {- 1} (\ left] x, + \ infty \ right [) \ right) = 0}cu excepția unui set de valori dintre cele mai numărabile .Dnu{\ displaystyle D_ {n}}X{\ displaystyle x}
Setul este cel mult de numărat, prin urmare Lebesgue-neglijabil . Prin urmare, la punctul 5:
∪nu≥0Dnu{\ displaystyle \ cup _ {n \ geq 0} D_ {n}}
pentru aproape totul , .
X∈[0,1]{\ displaystyle x \ in \ left [0,1 \ right]}P[ψ(Xnu)>X]→P[ψ(X)>X]{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left [\ psi (X_ {n})> x \ right] \ to \ mathbb {P} \ left [\ psi (X)> x \ right]}
Încheiem prin convergență dominată :
E[ψ(Xnu)]=∫01P[ψ(Xnu)>X]dX→∫01P[ψ(X)>X]dX=E[ψ(X)]{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ psi (X_ {n}) \ right] = \ int _ {0} ^ {1} \ mathbb {P} \ left [\ psi (X_ {n})> x \ right] \, \ mathrm {d} x \ to \ int _ {0} ^ {1} \ mathbb {P} \ left [\ psi (X)> x \ right] \, \ mathrm {d} x = \ mathbb {E} \ left [\ psi (X) \ right]}.
În cele din urmă, în cazul general, pentru o funcție continuă mărginită , astfel încât , revenim la cazul anterior prin setare
φ{\ displaystyle \ varphi}la<φ<b{\ displaystyle a <\ varphi <b}
ψ : = φ-lab-la{\ displaystyle \ psi \: = \ {\ frac {\ varphi -a} {ba}}}
astfel încât .
0<ψ<1{\ displaystyle 0 <\ psi <1}
Istoric
Potrivit lui Billingsley sau Kallenberg, teorema suportului se datorează lui Alexandrov . În cea de-a doua ediție a Convergenței măsurilor de probabilitate , Billingsley atribuie teorema lui Jean-Pierre Portmanteau, de la Universitatea din Felletin , într-un articol de 4 pagini pe care Jean-Pierre Portmanteau l-ar fi publicat în 1915 în Annales de l'Université de Felletin , sub titlul excentric " Speranță pentru setul gol ?" ". Este o farsă: nu există un matematician pe nume Jean-Pierre Portmanteau și nu a existat niciodată o universitate în Felletin.
Note și referințe
-
(ro) Patrick Billingsley (ro) , Convergența măsurilor de probabilitate , Wiley ,August 1999, A 2 -a ed. , 296 p. ( ISBN 978-0-471-19745-4 ) , „Teorema Portmanteau” , p. 15-16.
-
Vezi Așteptarea matematică # Cazul unei variabile aleatoare reale pozitive .
-
Vezi Continuitate (matematică) # Caracterizări globale .
-
A se vedea familia # Rezumabilă Proprietăți .
-
(ro) Patrick Billingsley, Convergența măsurilor de probabilitate , Wiley,1968, 1 st ed. , 263 p. , p. 16.
-
(ro) Olav Kallenberg (ro) , Foundations of Modern Probability , 2 e ed. [ detaliul ediției ], Teorema 4.25 (Teorema Portmanteau, Alexandrov) , p. 75 .
-
(ro) AD Aleksandrov, „Funcții de seturi aditive în spații abstracte” în Mat. Sb. , zbor. 8, 1940, p. 307-348, voi. 9, 1941, p. 563-628 și vol. 13, 1943, p. 169-238 .
-
Billingsley 1999 , p. 273 ( Bibliografie ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">