Constanta De Bruijn-Newman

Constanta De Bruijn-Newman , notat Λ , este o constantă matematică și este definit de zerouri ale unei anumite funcții H (λ, z ), unde λ este un adevărat parametru și z este o variabilă complexă . H (λ, z) are numai zerouri reale dacă și numai dacă λ ≥ Λ.

În 2018 se arată că 0 ≤ Λ ≤ 0,22.

Constanta este strâns legată de ipoteza Riemann asupra zerourilor funcției zeta Riemann . Pe scurt, ipoteza Riemann este echivalentă cu următoarea conjectură: Λ ≤ 0. Dacă ipoteza Riemann este adevărată, atunci Λ = 0.

Expresii analitice particulare ale lui H

H (λ, z ) este transformata Fourier a exp (λ x 2 ) Φ ( x ):

{\ displaystyle H (\ lambda, z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {\ lambda u ^ {2}} \ Phi (u) \ cos (zu) \ du}

unde este funcția care scade rapid: $\ Phi$

{\ displaystyle \ Phi (u) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (2 \ pi ^ {2} n ^ {4} e ^ {9u} -3 \ pi n ^ {2} e ^ {5u}) \ exp (- \ pi n ^ {2} e ^ {4u}).}

H (0, x ) = ξ (1/2 + i x ), unde ξ denotă funcția Riemann xi

\ xi (s) = \ frac12 s (s-1) \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma (s / 2) \ zeta (s)

H are reprezentarea Wiener-Hopf:
- pentru λ ≥ 0, ${\ displaystyle \ xi (1/2 + {\ rm {i}} z) = A {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {\ lambda}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- (xz) ^ {2} / (4 \ lambda)} H (\ lambda, x) {\ rm {d}} x,}$
- pentru λ <0,

{\ displaystyle H (z, \ lambda) = {\ frac {B {\ sqrt {\ pi}}} {\ lambda}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left ({\ frac {-1} {4 \ lambda}} (xz) ^ {2} \ right) \ xi (1/2 + ix) \, dx,}

cu și

{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}

{\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}

unde A și B sunt constante reale.

Căutarea și aproximarea lui Λ

Maior

Nicolaas Govert de Bruijn în 1950 a arătat că Λ ≤ 1/2.

Această limită superioară nu a fost îmbunătățită până în 2008, când Ki, Kim și Lee au arătat că Λ <1/2, făcând inegalitatea strictă.

În 2018, al 15- lea proiect Polymath a arătat că Λ ≤ 0,22.

Minorant

Charles Michael Newman (în) a conjecturat că 0 ≤ Λ.

S-au făcut calcule ample privind Λ începând cu 1987 și se desfășoară și astăzi:

Ani	Minor de Λ
1987	–50
1990	–5
1992	–0.385
1994	−4,379 × 10 −6
1993	−5,895 × 10 −9
2000	−2,7 × 10 −9
2011	−1.145 41 × 10 −11
2018	0

Demonstrația din ianuarie 2018 că 0 ≤ Λ confirmă deci conjectura lui Newman.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia engleză intitulat „ De Bruijn - Newman constant ” (a se vedea lista autorilor ) .

(în) Haseo Ki-Young Kim și One Jungseob Lee, „ On the de Bruijn-Newman constant ” , Advances in Mathematics , vol. 222, n o 1,septembrie 2009, p. 281–306 ( DOI 10.1016 / j.aim.2009.04.003 , Math Reviews MR2531375 , citiți online ).
(în) DHJ Polymath, „ Aproximarea efectivă a fluxului de căldură Evoluția funcției Riemann ξ și o nouă limită superioară pentru constanta de Bruijn-Newman ” , Research in the Mathematical Sciences , Vol. 6, n o 3,septembrie 2019( DOI 10.1007 / s40687-019-0193-1 ).
(în) George Csordas, TS Norfolk Richard S. Varga , " A low bound for the de Bruijn-Newman constant Λ " , Numerische Mathematik (in) , vol. 52, nr . 5,Septembrie 1987, p. 483–497 ( DOI 10.1007 / BF01400887 ).
(in) Herman Riele you , " A new lower bound for the de Bruijn-Newman constant " , Numerische Mathematik (in) , vol. 58, nr . 1,Decembrie 1990, p. 661–667 ( DOI 10.1007 / BF01385647 ).
(în) TS Norfolk, A. Ruttan și Richard S. Varga , „A Lower Bound for the de Bruijn-Newman Constant Λ. II ” , în Andrey Aleksandrovich Gonchar (en) (ed.) Și Edward B. Saff (en) (ed.), Progress in Approximation Theory , New York, Springer, col. „Seria Springer în Matematică Computațională” ( nr . 19),1992( DOI 10.1007 / 978-1-4612-2966-7_17 ) , p. 403–418.
(în) George Csordas, Wayne Smith și Richard S. Varga , „ Lehmer peers of zeros, the de Bruijn-Newman constant Λ, and the Riemann Hypothesis ” , Constructive Approximation (in) , vol. 10, n o 1,Martie 1994, p. 107–129 ( DOI 10.1007 / BF01205170 ).
(în) George Csordas, Andrew Odlyzko , Wayne Smith și Richard S. Varga , „ O nouă pereche de zerouri Lehmer și o nouă limită inferioară pentru constanta De Bruijn-Newman Λ ” , Electronic Transactions on Numerical Analysis , vol. 1,Decembrie 1993, p. 104–111 ( citește online ).
(în) Andrew Odlyzko , „ O legătură îmbunătățită pentru constanta de Bruijn-Newman ” , Algoritmi numerici , vol. 25,Septembrie 2000, p. 293–303 ( DOI 10.1023 / A: 1016677511798 , citiți online ).
(în) Yannick Saouter Xavier Gourdon și Patrick Demichel, " O limită inferioară îmbunătățită pentru constanta de Bruijn-Newman " , Mathematics of Computation , Vol. 80, nr . 276,2011, p. 2281–2287 ( DOI 10.1090 / S0025-5718-2011-02472-5 , Recenzii matematice 2813360 ).
(în) Brad Rodgers și Terence Tao , „ Constanta De Bruijn-Newman este non-negativă ”18 ianuarie 2018( arXiv 1801.05914 ) .
(în) Terence Tao , „ Constanta De Bruijn-Newman este non-negativă ” , blog Terence Tao,19 ianuarie 2018.

(ro) NG de Bruijn , „ Rădăcinile integralelor trigonometrice ” , Duke Mathematical Journal , vol. 17, n o 3,Septembrie 1950, p. 197–226 ( DOI 10.1215 / S0012-7094-50-01720-0 , Math Reviews 0037351 , citiți online ).
(ro) CM Newman , „ Fourier transformă numai cu zerouri reale ” , Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 61, n o 2Decembrie 1976, p. 245–251 ( DOI 10.1090 / S0002-9939-1976-0434982-5 , Recenzii matematice 0434982 ).

Vezi și tu

Articol asociat

Tabelul constantelor matematice

Link extern

(ro) Eric W. Weisstein , „ de Bruijn - Newman Constant ” , pe MathWorld