Condiții de corzi

Condițiile lanțului (în sus și în jos ) sunt două proprietăți matematice la ordinele identificate inițial de Emmy Noether în contextul algebrei comutative .

Definiție

Pe un set parțial ordonat ( V , ≤), starea lanțului ascendent denotă următoarea proprietate:

orice secvență crescătoare ( x n ) n ∈ N a elementelor lui V este staționară , adică constantă dintr-un anumit rang (există un număr întreg N astfel încât pentru toate n ≥ N , x n = x N )

sau, de asemenea, proprietatea (echivalent, deoarece este o relație de ordine)

V nu conține o secvență infinită strict în creștere.

Condiția lanțului ascendent pentru ( V , ≤) este echivalentă cu următoarea proprietate:

orice parte neocupată din V are un element maxim .

Într-adevăr, pe de o parte, această condiție, numită uneori condiția maximă ( (en) condiție maximă sau condiție maximă ), ar fi contrazisă de existența unei secvențe infinite în creștere. Pe de altă parte, dacă nu este verificat, se construiește o secvență infinită strict în creștere, alegând succesiv într-o parte neocupată fără element maxim un element x 0 , apoi o limită superioară strictă x 1 a acestuia etc. Secvența ( x n ) astfel construită (prin inducție și axiomă a alegerii - mai precis: axiomă a alegerii dependente , deoarece există o infinitate numărabilă de alegeri și fiecare depinde de alegerile precedente) crește infinit.

( V , ≤) satisface condiția lanțului descendent dacă orice secvență descrescătoare este staționară, adică ordinea opusă ( V , ≥) satisface condiția lanțului ascendent. Condiția minimă echivalentă - orice parte ne-goală are un element minim - nu este alta decât definiția obișnuită bine întemeiată .

Exemple de bază

Pe un set finit, orice ordine parțială satisface cele două condiții ale lanțului (ascendent și descendent).
Mulțimea ℕ a numerelor naturale , prevăzută cu ordinea obișnuită, îndeplinește condiția lanțului descendent, dar nu și cea ascendentă.
Mulțimea ℤ a numerelor întregi relative , prevăzută cu ordinea obișnuită, nu îndeplinește niciuna dintre cele două condiții ale lanțului.
O comandă este bună dacă și numai dacă este totală și îndeplinește condiția lanțului descendent.

Originea teoriei inelului

Emmy Noether o introduce în articolul ei din 1921 Idealtheorie din Ringbereichen . Ea subliniază, într-o notă de subsol, că acest concept a fost deja introdus anterior de Dedekind (în cazul câmpurilor numerice) și de Lasker (în cazul polinoamelor). Ea este prima care o introduce în cadrul general al articolului său al inelelor comutative din care fiecare ideal este finit generat.

Prin urmare, se spune că un inel comutativ este noetherian dacă ansamblul idealurilor sale , parțial ordonat prin incluziune, îndeplinește această condiție. Când această ordine parțială verifică starea unui lanț descendent, se spune că inelul este artinian . Un corolar al teoremei Hopkins-Levitzki (în) este că orice inel artinian este noetherian. ℤ este noetherian, dar nu artinian: 2 n ℤ formează o secvență infinită de idealuri strict descrescătoare.

Extindere la module

Idealurile unui inel comutativ A sunt pur și simplu submodulele sale, A fiind înzestrat cu structura sa naturală de modul A. Un modul A se spune că este noetherian (resp. Artinian ) dacă mulțimea submodulelor sale satisface condiția lanțului ascendent (resp. Descendent). Implicația anterioară (fiecare inel Artinian este Noetherian) nu se extinde la module:

Exemplu de modul Artinian, dar nu și Noetherian.

Fie p un număr prim . P - Prüfer grup ℤ [1 / p ] / ℤ este un subgrup al abeliană grupului ℚ / ℤ , deci un ℤ modulului de elasticitate. Este un modul Artinian, deoarece subgrupurile sale adecvate sunt finite. Dar nu este noetherian, pentru că obținem o secvență infinită strict crescătoare de submodule luând în considerare, pentru orice număr natural n , subgrupul alcătuit din elementele a căror ordine este divizorul lui p n .

Note și referințe

(nl) Acest articol este preluat parțial sau total din articolul Wikipedia în olandeză intitulat „ Ketenvoorwaarde ” ( vezi lista autorilor ) .

Secvențele crescătoare și descrescătoare definesc două tipuri particulare de lanțuri numărabile .
(en) MF Atiyah și IG MacDonald , Introducere în algebră comutativă , citire (Mass.) Etc., Addison-Wesley ,1969, 129 p. ( ISBN 0-201-00361-9 , citit online ) , p. 74.
(ro) Nathan Jacobson , Lectures in Abstract Algebra I , col. „ GTM ” ( nr . 30)1951, 217 p. ( ISBN 978-0-387-90181-7 , citit online ) , p. 168.
Jacobson 1951 , p. 200.
(De) Emmy Noether , " Idealtheorie in Ringbereichen " , Mathematische Annalen , vol. 83, nr . 1,1 st martie 1921, p. 24–66 ( ISSN 1432-1807 , DOI 10.1007 / BF01464225 , citit online , accesat la 11 iunie 2020 )