Lungimea unui modul M peste un inel A este un număr natural sau infinit . Generalizează într-un anumit mod noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial pe un corp . De module de lungime finită au multe caracteristici generalizează cele ale spațiilor vectoriale de dimensiuni finite .
Cele mai simple module sunt module M nenule care nu au alte sub-module {0} și M . De exemplu, un spațiu vectorial este simplu ca un modul dacă și numai dacă este o linie vectorială . Pentru un modul simplu M , singura secvență strict crescătoare de submodule pentru includere este
Modulele simple sunt un fel de entități ușoare. Dacă pentru un modul M putem găsi o secvență strict crescătoare de submodule :
astfel încât pentru orice număr întreg k de la 1 la n , modulul coeficientului este simplu, atunci nu putem insera un submodul în această secvență păstrând în același timp incluziuni stricte. Spunem că modulul A- M are o lungime finită și că lungimea sa este n . Această lungime este în concordanță cu definiția dată mai jos.
În special, dacă E este un spațiu vectorial k de dimensiune finită, atunci o astfel de secvență constă din subspatii vectoriale imbricate a căror dimensiune crește cu o unitate la fiecare pas. Vorbim apoi despre descompunerea spațiului vectorial într-un steag, iar lungimea lui E este, prin urmare, dimensiunea sa.
Lungimea unui modul M peste un inel A , nu neapărat comutativ , este cel mai mare întreg n astfel încât să existe o secvență strict crescătoare de submoduli ai lui M , dacă există un astfel de maxim . În caz contrar, spunem că lungimea este infinită.
O observăm sau când nu există nicio îndoială cu privire la inelul scalarilor.
Notă. Legea externă a A -modul M este o operație de A , care (printre alte proprietăți) face ca M un operatorii de grup în A . Lungimea modulului M nu este alta decât lungimea sa ca grup de operatori .
În ceea ce privește modulele de lungime finită, multe proprietăți sunt similare cu ceea ce este cunoscut pentru spațiile vectoriale cu dimensiuni finite. De exemplu,
Deducem o formulă Grassmann pe lungimea submodulelor:
Mai mult, următoarea teoremă oferă o caracterizare a modulelor de lungime finită:
Un modul are o lungime finită dacă și numai dacă este atât artinian, cât și noetherian .
Teorema lui Krull-Schmidt (în) asigură că orice modul de lungime finită este unic până la izomorfism, suma directă a modulelor indecompozabil .
DemonstrațieFie M un modul diferit de zero de lungime finită n . Pentru orice descompunere a lui M ca sumă directă a numărului cel mai mare posibil (în mod necesar crescut cu n ) de submoduli diferiți de zero, factorii sunt indescompozibili. Acest lucru asigură existența descompunerii anunțate. Pentru a-și demonstra unicitatea, este suficient să demonstreze că dacă
și dacă N și tot M k sunt indescompozibili, atunci N este izomorf pentru unul dintre M k și N ' pentru suma celorlalți. Pentru aceasta, denotăm i: N → M și p: M → N incluziunea și proiecția canonică și în mod similar, pentru fiecare k , i k : M k → M și p k : M → M k . Asa de,
Prin urmare, potrivit Montajul Ierna , cel puțin unul dintre pi k p k i - să zicem, primul, chiar Renumerotare - este un automorphism de N . Deci p 1 IPI 1 este un endomorphism de M 1 nu nilpotent așadar (din nou , prin Lema montare) bijective, așa încât pi 1 este un izomorfism de M 1 la N . Putem deduce cu ușurință că M = M 1 ⊕ N ' . Asa de,
(ro) MF Atiyah și IG Macdonald , Introducere în algebra comutativă , Addison - Wesley , 1969, cap. 6
Teorema Krull - Schmidt pentru grupuri, sau teorema Krull- Remak (en) -Schmidt: