Clasa de regularitate
În matematică și analiză , a claselor de regularitate ale funcțiilor digitale constituie un catalog fragmentar bazat pe existența și continuitatea de iterată derivate , indiferent de forma sau forma funcției ( monotonie , convexitate , zerouri , etc.).
Cu toate acestea, clasele de regularitate nu reflectă în niciun fel un tip exhaustiv de funcții: în special, criteriile se referă la întregul domeniu de definiție .
Domeniu în dimensiunea n = 1
Dacă J este un interval de ℝ și un număr întreg, considerăm următoarele spații funcționale :
k≥1{\ displaystyle k \ geq 1}
-
VS0(J,R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} (J, \ mathbb {R})} : ansamblul funcțiilor continue de la J la ℝ;
-
Dk(J,R){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})} : setul de funcții de la J la ℝ care pot fi diferențiate ori;k{\ displaystyle k}
-
VSk(J,R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})} : subsetul alcătuit din funcții a căror derivată i este continuă;Dk(J,R){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})}k{\ displaystyle k}
-
VS∞(J,R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})}, sau într-un mod strict echivalent : setul de funcții diferențiabile la infinit (adică ori diferențiabile pentru toate numerele întregi ) de la J la ℝ, numite și funcții netede sau regulate .D∞(J,R){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})}nu{\ displaystyle n}nu{\ displaystyle n}
Aceste seturi sunt algebra , astfel încât chiar și cu atât mai mult în cele spații vectoriale pe ℝ.
Continuitatea este legată de topologiile obișnuite pe J și pe ℝ. Pe de altă parte, nu se specifică dacă J este deschis , închis , semideschis, pe jumătate dreapta sau întreg ℝ. Nici topologia (sau posibil standardul ) asociată acestor spații nu este explicată aici (vezi Spațiul lui Fréchet ).
Când contextul este clar, „argumentul” ℝ este ignorat în notație și același lucru este valabil uneori cu domeniul definiției (acest lucru este de obicei cazul când J = ℝ).
Deoarece diferențialitatea implică continuitate, aceste seturi satisfac succesiunea incluziunilor:
VS0(J)⊃D1(J)⊃VS1(J)⊃D2(J)⊃VS2(J)⊃⋯⊃Dk(J)⊃VSk(J)⊃⋯⊃VS∞(J).{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {2} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {2} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {D}} ^ {k} (J ) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J).}Alte două categorii sunt menționate în mod obișnuit:
-
VSEu0(J){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {I} ^ {0} (J)}setul de funcții continue în bucăți ;
-
VSEuk(J){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {I} ^ {k} (J)}(cu ) subsetul format din funcții a căror derivată i este continuă în bucăți;k≥1{\ displaystyle k \ geq 1}Dk(J){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {k} (J)}k{\ displaystyle k}
-
VS0k(J){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {0} ^ {k} (J)}subsetul alcătuit din funcții al căror suport este compact într-un set deschis conținut în J ;VSk(J){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k} (J)}
-
VS0∞(J){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {0} ^ {\ infty} (J)}subsetul constă din funcțiile al căror suport este compact într - un conținut deschis în J .VS∞(J){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J)}
Acestea satisfac următoarele incluziuni:
Dk(J)⊃VSEuk(J)⊃VSk(J)⊃VS0k(J).{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} _ {I} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ { k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} _ {0} ^ {k} (J).}
Dacă intervalul
J este
non-banal , toate aceste seturi constituie, prevăzute cu legile lor, spații vectoriale ale
cărții de dimensiune (ℝ) .
Domeniu în dimensiunea n > 1
Adică o limită deschisă, de frontieră și de adeziune .
Ω⊂Rnu{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega} Ω¯{\ displaystyle {\ overline {\ Omega}}}
Pentru simplitate, să presupunem că acesta este un domeniu „obișnuit”; de exemplu și pentru a fixa ideile, că teorema divergenței este valabilă pentru orice funcție suficient de lină .
Ω{\ displaystyle \ Omega}Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
În acest context, definițiile precedente își păstrează valabilitatea înlocuind J cu și luând „derivată” în sensul „ diferențial ”.
Ω¯{\ displaystyle {\ overline {\ Omega}}}
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">