Categorie îmbogățită

O categorie îmbogățită pe o categorie monoidală , sau -categorie este o extensie a conceptului matematic de categorie , în care morfismele , în loc să formeze o clasă sau un set fără structură, sunt elemente ale . ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Motivație

Conceptul de categorie îmbogățită pleacă de la observația că, în multe situații, morfismele au o structură naturală de vector sau spațiu topologic . Categoria trebuie să fie monoidală pentru a putea defini compoziția morfismelor, numite în acest caz obiecte hom în loc de seturi hom. ${\ mathcal {M}}$

Definiție

O categorie îmbogățită , unde este o categorie monoidală , sunt datele următoarelor elemente: $\ mathcal C$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Un set de obiecte ; ${\ displaystyle \ mathrm {Obj} ({\ mathcal {C}})}$
Pentru orice pereche de obiecte x , y , un obiect numit hom-obiect și notat ; ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (x, y)$
Pentru orice triplet de obiecte de , un morfism în , a spus de compoziție: $\ mathcal C$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (b, c) \ otimes {\ mathrm {hom}} (a, b) \ to {\ mathrm {hom}} (a, c)$
Pentru orice obiect a de , așa- numitul morfism identitar, în care $1$ este unitatea produsului tensorial din $\ mathcal C$ ${\ mathsf {id_ {a}}}: 1 \ to {\ mathrm {hom}} (a, a)$ ${\ mathcal {M}}$
Diagramele comutative corespunzătoare asociativității compoziției și comportamentului bun al morfismelor identitare în această compoziție.

Exemple

O categorie îmbogățită în categoria Set de seturi nu este altceva decât o categorie locală mică (în sensul obișnuit) ;
O categorie îmbogățită în categoria Top a spațiilor topologice este o categorie topologică (en) ;
O categorie îmbogățită în categoria seturilor simpliciale este o categorie îmbogățită simplicial (în) :
O categorie îmbogățită în categoria de categorii Cat este o categorie strictă de 2 categorii .

Referințe

(ro) Max Kelly , Conceptele de bază ale teoriei categoriilor îmbogățite , vol. 64, Cambridge University Press, col. "London Mathematical Society Lecture Note Series",1982
(ro) Saunders Mac Lane , Categorii pentru matematicianul de lucru [ detaliu ediție ]