În matematică , o C * algebră (complex) este o involutiv algebra Banach , adică un spațiu complet normalizat vectorial peste câmpul de complecși , înzestrat cu un notat involuție , și o structură de complex algebra . Se mai numește algebră stelară . De C * -algebrele sunt instrumente importante ale geometriei non-comutativă . Această noțiune a fost oficializată în 1943 de Israel Gelfand și Irving Segal .
Algebrele stelare sunt centrale în studiul reprezentărilor unitare ale grupurilor compacte la nivel local.
O algebră stelară A este o algebră Banach complexă:
Prin a doua condiție, și prin urmare, prin simetrie, obținem:
Un * -homomorfism este un morfism al algebrelor implicate . Verifică în special
Această definiție - oricât de pur algebrică - implică faptul că f este automat continuu și chiar 1 - Lipschitzian : vezi mai jos . Dacă f este injectiv, atunci este o izometrie. Dacă f este bijectiv, inversul său este un * -homomorfism; caz în care, f se numește * -izomorfism .
La fel ca pentru operatorii dintr-un spațiu Hilbert, putem defini spectrul elementelor unei algebre C *. Spectrul lui x este setul valorilor sale spectrale :
.Această definiție presupune că algebra care conține x are o unitate. Cu toate acestea, dacă nu este cazul, putem defini întotdeauna spectrul adăugând o unitate la algebră .
Pentru orice element normal x dintr-o algebră C * (spre deosebire de Banach * -algebre), norma lui x este egală cu raza sa spectrală :
Acest lucru se aplică în special pentru orice x autoadjunct , de exemplu pentru x = yy *, a cărui normă este pătratul acelei lui y . Astfel structura algebrică determină norma (și deci topologia). Această proprietate face ca * -morfismele (resp. Injectiv) să fie continuu automat (resp. Izometric).
O C * -algebră comutativă A este izomorf izomorfă la C 0 ( X ) unde X este compact local și chiar compact dacă A are o unitate. Izomorfismul este construit prin intermediul Gelfand transformă și prin studiul caracterelor algebra A .
Dacă x este un element normal al unei C * -algebra A (adică deplasarea la adjunctul acesteia), atunci există un izomorfism izometric * între algebra funcțiilor continue pe spectrul σ ( x ) al lui x și sub-C * -algebra lui a generată de x și 1. cu alte cuvinte, pentru orice f continuă pe σ ( x ), se poate defini f ( x ) într-un mod unic, ca element al lui a . Acest calcul funcțional extinde calculul funcțional polinomial și σ ( f ( x )) = f (σ ( x )) (teorema spectrală).
Datorim lui Gelfand, Naimark și Segal construcția (en) unui izomorfism izometric (sau reprezentare fidelă) între orice C * -algebră și o subalgebră închisă a algebrei operatorilor pe un anumit spațiu Hilbert (pe care îl construim în același timp ca izomorfism). Prin urmare, teoria C * -algebrelor poate fi redusă la teoria operatorilor de pe spațiile Hilbert.
Faptul că C * -algebrele comutative sunt algebre ale funcțiilor face posibilă gândirea teoriei C * -algebrelor ca o teorie a funcțiilor necomutative. Dar, deoarece studiul funcțiilor continue pe un spațiu compact este echivalent cu studiul topologiei acestui spațiu (prin teorema Banach-Stone), mai ușor acordăm studiului C * -algebrelor numele topologiei necomutative (în) .