Algebră geometrică conformă
CONFORMAL algebra geometrică este un model matematic al spațiului , de stabilire a unei corespondențe injectivă între spațiul euclidian de dimensiune și de algebră geometrică a dimensiunii , astfel încât imaginea de orice punct este un vector zero și astfel încât să existe un vector zero , cu care imaginea oricărui punct oferă un produs interior egal cu unul.
nu{\ displaystyle n}nu+2{\ displaystyle n + 2}
F(X)2=0F(X)⋅∞=1∞2=0{\ displaystyle {\ begin {array} {c} F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0 \\ F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1 \\\ infty ^ {2} = 0 \ end {array}}}
Definiții
Harta Minkowski
Algebra geometrică conformă adaugă două dimensiuni spațiului euclidian cu o metrică pseudo-euclidiană . Acest spațiu se numește planul Minkowskii .
(-,+){\ displaystyle (-, +)}
Se aleg doi vectori zero ai acestui spațiu. Se notează și se numesc respectiv origine și orizont . Ele sunt alese pentru a satisface următoarele relații:
(o,∞){\ displaystyle (o, \ infty)}
o2=∞2=0o⋅∞=∞⋅o=1{\ displaystyle {\ begin {array} {c} o ^ {2} = \ infty ^ {2} = 0 \\ o \ cdot \ infty = \ infty \ cdot o = 1 \ end {array}}}
Se poate arăta că formează baza planului Minkowski. Această bază se numește bază zero .
(o,∞){\ displaystyle (o, \ infty)}
Produsul exterior al orizontului și originea formează pseudo-scalarul planului Minkowski. Se notează cu o majusculă E.
∞∧o=E{\ displaystyle \ infty \ wedge o = E}
Convenția există, de asemenea, dar nu va fi utilizată în acest articol.
E=o∧∞{\ displaystyle E = o \ wedge \ infty}
Tăiere conformă
Algebra geometrică conformă taie o algebră geometrică de dimensiune vectorială în două subspatii: planul Minkowski și un spațiu de dimensiune care vizează să reprezinte un spațiu euclidian.
nu+2{\ displaystyle n + 2}nu{\ displaystyle n}
Există cel puțin două metode de tăiere.
Tăiere aditivă
Diviziunea aditivă folosește o sumă directă :
Rnu+1,1=Rnu⊕R1,1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1,1} = \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus \ mathbb {R} ^ {1,1}}
Prin urmare, se scrie un vector al :
X{\ displaystyle x}Rnu+1,1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1,1}}
X=F(X)=X+αo+β∞{\ displaystyle x = F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty}Coeficienții sunt coordonatele din planul Minkowski. Ele depind astfel încât relațiile care definesc modelul conform să fie satisfăcute.
α,β{\ displaystyle \ alpha, \ beta}X{\ displaystyle x}X{\ displaystyle \ mathbf {x}}F(X){\ displaystyle F (\ mathbf {x})}
Împărțirea multiplicativă
Diviziunea multiplicativă constă dintr-un produs direct:
Gnu+1,1=Gnu⊗G1,1{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n + 1,1} = {\ mathcal {G}} _ {n} \ otimes {\ mathcal {G}} _ {1,1}}
Iată de fapt spațiul trivectorilor care au pentru factor comun bivectorul E.
Gnu{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n}}
ρX=X∧E{\ displaystyle \ rho \ mathbf {x} = x \ wedge E}Factorul de liniaritate trebuie determinat ținând seama de condițiile modelului conform.
ρ{\ displaystyle \ rho}
Proprietăți
Harta Minkowski
Pătrat pseudo-scalar
Pătratul pseudo-scalarului planului Minkowski este egal cu unul.
E2=1{\ displaystyle E ^ {2} = 1}
Demonstrație
E2=(∞∧o)(∞∧o)=-(o∧∞)(∞∧o)=-(o∞-o⋅∞)(∞o-∞⋅o)=-(o∞-1)(∞o-1)=(1-o∞)(∞o-1)=∞o-1-o∞∞o+o∞=∞o+o∞-1=2∞⋅o-1=2-1=1{\ displaystyle {\ begin {align} E ^ {2} = & (\ infty \ wedge o) (\ infty \ wedge o) \\ = & - (o \ wedge \ infty) (\ infty \ wedge o) \ \ = & - (o \ infty -o \ cdot \ infty) (\ infty o- \ infty \ cdot o) \\ = & - (o \ infty -1) (\ infty o-1) \\ = & ( 1-o \ infty) (\ infty o-1) \\ = & \ infty o-1-o \ infty \ infty o + o \ infty \\ = & \ infty o + o \ infty -1 \\ = & 2 \ infty \ cdot o-1 \\ = & 2-1 \\ = & 1 \ end {align}}}
∎
Absorbția bazei zero
În planul lui Minkowski, înmulțirea cu E acționează asupra originii și orizontului schimbând sau nu semnul acestora în funcție de direcția înmulțirii.
E∞=-∞E=∞oE=-Eo=o{\ displaystyle {\ begin {array} {c} E \ infty = - \ infty E = \ infty \\ oE = -Eo = o \ end {array}}}
Demonstrație
E∞=(∞∧o)∞=-(o∧∞)∞=-(o∞-o⋅∞)∞=(o⋅∞-o∞)∞=(1-o∞)∞=∞-o∞2=∞{\ displaystyle {\ begin {align} E \ infty = & (\ infty \ wedge o) \ infty \\ = & - (o \ wedge \ infty) \ infty \\ = & - (o \ infty -o \ cdot \ infty) \ infty \\ = & (o \ cdot \ infty -o \ infty) \ infty \\ = & (1-o \ infty) \ infty \\ = & \ infty -o \ infty ^ {2} \ \ = & \ infty \ end {align}}}
Celelalte relații sunt demonstrate în mod similar.
Exprimarea lui F
Tăiere aditivă
Cu tăierea aditivă, expresia explicită a lui F este scrisă:
F(X)=o+X-12X2∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Demonstrație
După cum sa văzut anterior:
F(X)=X+αo+β∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty}
Încercăm să determinăm și pentru a satisface și .
α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}F(X)2=0{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0}F(X)⋅∞=1{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1}
Avem:
F(X)2=(X+αo+β∞)(X+αo+β∞)=X2+αβo∞+αβ∞o=X2+2αβo⋅∞=X2+2αβ{\ displaystyle {\ begin {align} F (\ mathbf {x}) ^ {2} = & (\ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty) (\ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty) \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} + \ alpha \ beta o \ infty + \ alpha \ beta \ infty o \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} +2 \ alpha \ beta o \ cdot \ infty \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} +2 \ alpha \ beta \ end {align}}}Așa implicăF(X)2=0{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0}αβ=-12X2{\ displaystyle \ alpha \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
Condiția implică imediatF(X)⋅∞=1{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1}α=1{\ displaystyle \ alpha = 1}
Prin urmare β=-12X2{\ displaystyle \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
∎
Împărțirea multiplicativă
Pentru diviziunea multiplicativă, F se scrie:
F(X)=(o+X+12X2∞)E=o+XE-12X2∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = (o + \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty) E = o + \ mathbf { x} E - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Demonstrație
În primul rând, avem:
F(X)=X=XE2=(X∧E+X⋅E)E{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = x = xE ^ {2} = (x \ wedge E + x \ cdot E) E}De unde
X2=XX†=(X∧E+X⋅E)EE(E∧X+X⋅E)=-(X∧E+X⋅E)(X∧E-X⋅E)=(X⋅E)2-(X∧E)2{\ displaystyle x ^ {2} = xx ^ {\ dagger} = (x \ wedge E + x \ cdot E) EE (E \ wedge x + x \ cdot E) = - (x \ wedge E + x \ cdot E) (x \ wedge Ex \ cdot E) = (x \ cdot E) ^ {2} - (x \ wedge E) ^ {2}}Ca și în altă parte , vine:
X2=0{\ displaystyle x ^ {2} = 0}
(X⋅E)2=(X∧E)2=X2{\ displaystyle (x \ cdot E) ^ {2} = (x \ wedge E) ^ {2} = \ mathbf {x} ^ {2}}Aur
(X⋅E)2=(X⋅(∞∧o))2=(X⋅∞o-∞X⋅o)2=(o-∞X⋅o)2=-X⋅o(o∞+∞o)=-2X⋅o{\ displaystyle (x \ cdot E) ^ {2} = (x \ cdot (\ infty \ wedge o)) ^ {2} = (x \ cdot \ infty \, o- \ infty \, x \ cdot o) ^ {2} = (o- \ infty \, x \ cdot o) ^ {2} = - x \ cdot o (o \ infty + \ infty o) = - 2x \ cdot o}Prin urmare
X⋅o=-12X2{\ displaystyle x \ cdot o = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}Așadar
X⋅E=o-∞X⋅o=o+12X2∞{\ displaystyle x \ cdot E = o- \ infty \, x \ cdot o = o + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}Care dau
XE=X∧E+X⋅E=X+12X2∞+o{\ displaystyle xE = x \ wedge E + x \ cdot E = \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty + o}și în cele din urmă, prin multiplicarea cu E:
X=(X+12X2∞+o)E{\ displaystyle x = (\ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty + o) E}
Produs intern și standard euclidian
Pătratul distanței euclidiene este opusul produsului interior dublu.
‖y-X‖2=-2F(X)⋅F(y){\ displaystyle \ | \ mathbf {y} - \ mathbf {x} \ | ^ {2} = - 2F (\ mathbf {x}) \ cdot F (\ mathbf {y})}
Demonstrație
Pentru tăierea aditivă:
2F(X)⋅F(y)=(o+X-12X2∞)(o+y-12y2∞)+(o+y-12y2∞)(o+X-12X2∞)=-12y2-12X2+Xy-12X2-12y2+yX=-(X2-Xy-yX+y2)=-(X-y)2=-‖X-y‖2{\ displaystyle {\ begin {align} 2F (\ mathbf {x}) \ cdot F (\ mathbf {y}) = & (o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty) (o + \ mathbf {y} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} \ infty) + (o + \ mathbf {y} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} \ infty) (o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2 } \ infty) \\ = & - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} + \ mathbf {xy} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} + \ mathbf {yx} \\ = & - (\ mathbf {x} ^ {2} - \ mathbf {xy} - \ mathbf {yx} + \ mathbf {y} ^ {2}) \\ = & - (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) ^ {2} \\ = & - \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | ^ {2} \ end {align}}}Pentru felierea multiplicativă:
Vezi și tu
linkuri externe
Note și referințe
-
Se alege aici să se stipuleze caracterul injectiv al corespondenței pentru a evita includerea cazului banal .F(X)=o{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o}
-
Există mai multe moduri de a defini originea și orizontul, precum și notații diferite. Unele cărți includ folosind o convenție diferită pentru valoarea produsului scalar: . Aceste convenții diferite nu modifică în mod fundamental proprietățile algebrice ale algebrei geometrice conforme și pot fi asemănate divergențelor în alegerea unităților.o⋅∞=-1{\ displaystyle o \ cdot \ infty = -1}
-
Aici cuvântul tăiere și substantivele sale au fost alese pentru a traduce termenul englezesc split în expresia Hestenes conformal split
-
Unele surse folosesc formula . Diferența de semn pare să fie legată de alegerea diferită pentru semnul produsului punct între origine și orizont.F(X)=o+X+12X2∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o + \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">