Ecuațiile Hamilton-Jacobi
În mecanica Hamiltoniană , ecuațiile Hamilton-Jacobi sunt ecuații asociate cu o transformare a Hamiltonianului în spațiul de fază și care simplifică rezoluția ecuațiilor de mișcare .
Transformări canonice
O transformare canonică este o transformare a spațiului de fază care reține ecuațiile canonice:
(q→,p→)→(Î→,P→) , H(q→,p→)→K(Î→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}}) ~, ~ H ({\ vec {q} }, {\ vec {p}}) \ rightarrow K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}q→˙=∂H∂p→ → Î→˙=∂K∂P→;p→˙=-∂H∂q→ → P→˙=-∂K∂Î→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {q}}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial {\ vec {p}}}} ~~ \ rightarrow ~~ {\ dot {\ vec {Q} }} = {\ frac {\ partial K} {\ partial {\ vec {P}}}} \ ,; \, {\ dot {\ vec {p}}} = - {\ frac {\ partial H} { \ partial {\ vec {q}}}} ~~ \ rightarrow ~~ {\ dot {\ vec {P}}} = - {\ frac {\ partial K} {\ partial {\ vec {Q}}}} }.
(Notă unde .)
∂∂X→=∇→X→=∑eu=1NU∂∂Xeue→eu{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {x}}}} = {\ vec {\ nabla}} _ {\ vec {x}} = \ sum _ {i = 1} ^ { N} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} {\ vec {e}} _ {i}}X→=∑eu=1NUXeue→eu{\ displaystyle {\ vec {x}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} {\ vec {e}} _ {i}}
Putem arăta că o transformare este canonică dacă și numai dacă păstrează parantezele fundamentale Poisson :
{Îα,Pβ}=δαβ{\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, P _ {\ beta} \} = \ delta _ {\ alpha \ beta}}
{Îα,Îβ}=0{\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, Q _ {\ beta} \} = 0}
{Pα,Pβ}=0{\ displaystyle \ {P _ {\ alpha}, P _ {\ beta} \} = 0}
Generarea de funcții
Acțiunea poate fi scrisă ca o funcție a variabilelor spațiale faza:
S[q→,p→]=∫dt L(q→,q→˙,t)=∫dt (p→⋅q→˙-H(q→,p→,t))=∫dt f(q→˙,q→,p→,t).{\ displaystyle S [{\ vec {q}}, {\ vec {p}}] = \ int \ mathrm {d} t ~ L ({\ vec {q}}, {\ dot {\ vec {q} }}, t) = \ int dt ~ ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t)) = \ int \ mathrm {d} t ~ f ({\ dot {\ vec {q}}}, {\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t).}
Cu toate acestea, ecuațiile canonice verificate implică faptul că ecuațiile Euler-Lagrange verifică :
H(q→,p→){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}})}f{\ displaystyle f}
ddt(∂f∂q→˙)-∂f∂q→=ddt(p→)+∂H∂q→=p→˙-p→˙=0→;{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ dot {\ vec {q}}}} \ dreapta) - {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ vec {q}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ vec { p}} \ right) + {\ frac {\ partial H} {\ partial {\ vec {q}}}} = {\ dot {\ vec {p}}} - {\ dot {\ vec {p}} } = {\ vec {0}};}
ddt(∂f∂p→˙)-∂f∂p→=ddt(0→)-(q→˙-∂H∂p→)=-q→˙+q→˙=0→.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ dot {\ vec {p}}}}} dreapta) - {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ vec {p}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ vec { 0}} \ right) - \ left ({\ dot {\ vec {q}}} - {\ frac {\ partial H} {\ partial {\ vec {p}}}} \ right) = - {\ dot {\ vec {q}}} + {\ dot {\ vec {q}}} = {\ vec {0}}.}
Prin urmare, avem staționaritate a acțiunii dacă și numai dacă ecuațiile canonice se satisfac, și același lucru pentru . Deducem că dacă H și K verifică ecuațiile lor canonice, avem staționaritatea acțiunilor corespunzătoare, și anume:
H(q→,p→){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}})}K(Î→,P→){\ displaystyle K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}
δ(∫dt (p→⋅q→˙-H))=0,δ(∫dt (P→⋅Î→˙-K))=0{\ displaystyle \ delta \ left (\ int \ mathrm {d} t ~ ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H) \ right) = 0 \ ,, \ , \ delta \ left (\ int \ mathrm {d} t ~ ({\ vec {P}} \ cdot {\ dot {\ vec {Q}}} - K) \ right) = 0}
deci așa-numita condiție de invarianță:
(p→⋅q→˙-H)-(P→⋅Î→˙-K)=dFdt(q→,p→,Î→,P→,t).{\ displaystyle ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H) - ({\ vec {P}} \ cdot {\ dot {\ vec {Q}}} - K) = {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, {\ vec {Q}}, {\ vec {P}}, t).}
O astfel de funcție F se numește funcția generatoare a transformării .
(q→,p→)→(Î→,P→) , H(q→,p→)→K(Î→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}}) ~, ~ H ({\ vec {q} }, {\ vec {p}}) \ rightarrow K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}
Funcția principală Hamilton, ecuația Hamilton-Jacobi
Se notează N numărul de grade de libertate al sistemului, reprezintă 4 N variabile, care sunt conectate între ele prin relațiile 2 N ale transformării . Prin urmare, avem 2 N variabile independente și, prin urmare, mai multe opțiuni pentru variabilele funcției generator. Dacă alegem să folosim variabilele , avem o funcție generator numită funcția principală a lui Hamilton. Pentru a avea de fapt o funcție , aplică o transformare Legendre la :
.
(q→,p→,Î→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, {\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}(q→,p→)→(Î→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}S(q→,P→){\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}F{\ displaystyle F}S(q→,P→)=F+Î→⋅P→{\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}}) = F + {\ vec {Q}} \ cdot {\ vec {P}}}
Atunci avem dSdt=dFdt+Î→˙⋅P→+Î→⋅P→˙=∂S∂q→⋅q→˙+∂S∂P→⋅P→˙+∂S∂t{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} + {\ dot {\ vec {Q}}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {Q}} \ cdot {\ dot {\ vec {P}}} = {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {q}}}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} + {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {P}}}} \ cdot {\ dot {\ vec { P}}} + {\ frac {\ partial S} {\ partial t}}}
iar condiția de invarianță devine
(p→-∂S∂q→)⋅q→˙+(Î→-∂S∂P→)⋅P→˙+(-H+K-∂S∂t)=0.{\ displaystyle \ left ({\ vec {p}} - {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {q}}}} \ right) \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} + \ left ({\ vec {Q}} - {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {P}}}} \ right) \ cdot {\ dot {\ vec {P}}} + \ stânga (-H + K - {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} \ right) = 0.}
Am ales ca variabile independente, prin urmare putem identifica și obținem:
(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}
p→-∂S∂q→=0→{\ displaystyle {\ vec {p}} - {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {q}}}} = {\ vec {0}}} ;
Î→-∂S∂P→=0→{\ displaystyle {\ vec {Q}} - {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {P}}}} = {\ vec {0}}} ;
-H+K-∂S∂t=0{\ displaystyle -H + K - {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = 0}.
Primele două ecuații fac posibilă determinarea transformării din datele funcției și, combinând prima și ultima ecuație, avem ecuația Hamilton-Jacobi:
(q→,p→)→(Î→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}S(q→,P→){\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}
H(q→,∂S∂q→,t)+∂S∂t=K{\ displaystyle H \ left ({\ vec {q}}, {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {q}}}}, t \ right) + {\ frac {\ partial S} { \ partial t}} = K}.
Cerere
Scopul unei astfel de transformări este simplificarea soluției ecuațiilor de mișcare. De exemplu, prin impunere , avem pur și simplu și , adică, și constante. Apoi rămâne de determinat pentru a obține soluția , dar transformarea este determinată în întregime de datele funcției generatoare, care este soluția ecuației diferențiale parțialeK=0{\ displaystyle K = 0}Î→˙=0→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {Q}}} = {\ vec {0}}}P→˙=0→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {P}}} = {\ vec {0}}}Î→{\ displaystyle {\ vec {Q}}}P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}(Î→(q→,p→),P→(q→,p→)){\ displaystyle ({\ vec {Q}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}), {\ vec {P}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p }}))}(q→(t),p→(t)){\ displaystyle ({\ vec {q}} (t), {\ vec {p}} (t))}
H(q→,∂S∂q→,t)+∂S∂t=0.{\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {q}}}}, t) + {\ frac {\ partial S} {\ partial t} } = 0.}
Notă
În acest caz, condiția de invarianță devine . Funcția generatoare este atunci pur și simplu acțiunea sistemului.
p→⋅q→˙-H=dSdt ⇒ S=∫L dt{\ displaystyle {\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H = {\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} ~~ \ Rightarrow ~~ S = \ int L ~ \ mathrm {d} t}S{\ displaystyle S}
Această ecuație nu este a priori mai ușor de rezolvat decât ecuațiile de pornire (în special dacă este un hamiltonian clasic , atunci avem termeni neliniari). Cu toate acestea, dacă hamiltonianul nu depinde în mod explicit de timp, acesta este conservat (conform teoremei lui Noether ), deci avem direct:
H(q→,p→,t)=p→22m+V(q→,p→,t){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t) = {\ frac {{\ vec {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t)}
∂S∂t=-H(q→,∂S∂q→)=-E=vs.onustlanute{\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = - H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ partial S} {\ partial {\ vec {q}}}}) = -E = constant}
de unde
S=S0(q→,p→)-Et{\ displaystyle S = S_ {0} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) - Și}
iar ecuația de rezolvat este simplificată:
H(q→,∂S0∂q→)-E=0.{\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ partial S_ {0}} {\ partial {\ vec {q}}}}) - E = 0.}
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">