Ecuația Darcy-Weisbach

Ecuația Darcy-Weisbach , în sistemul hidraulic , face posibilă calcularea căderii de presiune (disipare a energiei) , a țevilor , prin distingerea căderile de presiune liniară de cele singulare (punct). Este o ecuație folosită pe scară largă în domeniu.

Prezentarea ecuației

Ecuația Darcy pentru căderile de presiune este o îmbunătățire a ecuației Prony și a fost dezvoltată de Henry Darcy , înainte de a fi modificată de Julius Weisbach (om de știință german) în 1845, care i-a dat forma actuală.

Pierderea de presiune este exprimată prin:

ΔP=fDLDhρV22{\ displaystyle \ Delta P = f_ {D} \, {\ frac {L} {D_ {h}}} \, \ rho {\ frac {V ^ {2}} {2}}}

Scăderea de presiune, obținută prin împărțirea expresiei anterioare la ρ · g, se exprimă prin:

ΔH=fDLDhV22g{\ displaystyle \ Delta H = f_ {D} \, {\ frac {L} {D_ {h}}} \, {\ frac {V ^ {2}} {2g}}}

cu

• ΔP - pierdere de presiune [ Pa ]
• ΔH - cădere de presiune [ m ]
• f D - Coeficientul de scădere a presiunii lui Darcy [-]
• L - lungimea conductei [ m ]
• ρ - densitatea fluidului [ kg m −3 ]
• D h - diametru hidraulic [ m ]
• V - viteza medie a fluidului [ m s −1 ]
• g - accelerația gravitației [ m s −2 ]

Anglo-saxonii se referă la aceste două definiții prin termenii cădere de presiune și pierderea de cap .

Coeficientul de scădere a presiunii depinde de regimul de curgere (laminar sau turbulent) și de proprietățile fluidului. În condiții izoterme, numărul Reynolds , care este raportul dintre puterea forțelor de inerție și disiparea vâscoasă , este suficient pentru a caracteriza regimul de curgere.

Coeficienți de cădere de presiune

Există doi coeficienți de cădere de presiune. Unul este coeficientul de scădere a presiunii Darcy, referitor la Henry Darcy , utilizat în general de francezi. Este notat cu majuscula lambda (Λ). Celălalt, utilizat în general de anglo-saxoni, este coeficientul de pierdere a presiunii Fanning, referitor la John Thomas Fanning , numit și coeficientul de frecare, deoarece definește tensiunea de forfecare la perete (adică - spune fricțiunea [ Pa ]) :

τ=fFρV22{\ displaystyle \ tau = f_ {F} \, \ rho \, {\ frac {V ^ {2}} {2}}}

Acești doi coeficienți exprimă aceeași realitate fizică și sunt legați de următoarea relație:

fD=4fF{\ displaystyle f_ {D} = 4 \, f_ {F}}

Determinarea coeficientului de pierdere liniară

Sunt utilizate mai multe metode pentru a defini coeficientul de pierdere a presiunii. Una dintre cele mai cunoscute folosește diagrama Moody , care este un abac pentru determinarea coeficientului de pierdere a presiunii din numărul Reynolds și a rugozității ( ) conductei. De asemenea, este posibil să se calculeze direct acest parametru din corelații care stau la baza diagramei Moody's: ε{\ displaystyle \ varepsilon}

• pentru un flux laminar într-un tub circular ,, obținem expresia prin identificare cu legea Hagen-Poiseuille:Re<2000{\ displaystyle Re <2000}fD{\ displaystyle f_ {D}}

fD=64Re{\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {64} {Re}}}(fie coeficientul de Fanning: )fF=16Re{\ displaystyle f_ {F} = {\ frac {16} {Re}}}

• pentru un flux turbulent într-un tub circular , există un număr mare de corelații, unele simple, dar imprecise, altele mai grele, dar mai apropiate de realitate.Re>3000{\ displaystyle Re> 3000}

Rugozitate pentru unele tipuri de materiale

Material	Rugozitate ( ) [mm] ε{\ displaystyle \ varepsilon}
fier forjat	0,12 - 0,3
țeavă nituită	0,75 - 1-05
galvanizat	0,15 - 0,3
beton (țeavă mică)	0,15 - 0,25
beton aspru	0,9 - 1,5
beton foarte aspru	1,5 - 2,15
galeria rock	90 - 300

Corelația Blasius este cea mai simplă, dar valabilitatea sa se reduce la țevi perfect netede (sticlă, PVC, ...):

fD=0,3164Re-14{\ displaystyle f_ {D} = 0,3164 \, Re ^ {- {\ frac {1} {4}}}}

Corelația Colebrook , cunoscută și sub numele de ecuația Colebrook-White:

1fD=-2Buturuga10⁡(2,51RefD+ε3,7D){\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = - 2 \ log _ {10} \ left ({\ frac {2,51} {Re {\ sqrt {f_ {D} }}}} + {\ frac {\ varepsilon} {3,7D}} \ right)}

Corelația Haaland:

1fD=-1,8Buturuga10⁡(6,9Re+(ε3,7D)1,11){\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = - 1,8 \ log _ {10} \ left ({\ frac {6,9} {Re}} + \ left ( {\ frac {\ varepsilon} {3,7D}} \ right) ^ {1,11} \ right)}

Corelația Swamee - Jain:

fD=0,25(Buturuga10⁡[ε/D3,7+5,74Re0,9])2{\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {0.25} {\ left (\ log _ {10} \ left [{\ frac {\ varepsilon / D} {3.7}} + {\ frac {5, 74} { Re ^ {0.9}}} \ right] \ right) ^ {2}}}}

Corelația serghide. Comparația a fost făcută cu 70 de puncte pe o gamă largă de valori atât pentru numărul Reynolds cât și pentru rugozitate, cu o eroare absolută maximă de 0,0031%.

LA=-2Buturuga10⁡(ε/D3,7+12Re){\ displaystyle A = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ peste 3,7} + {12 \ over {\ mbox {Re}}} \ right)} B=-2Buturuga10⁡(ε/D3,7+2,51LARe){\ displaystyle B = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ over 3,7} + {2,51A \ over {\ mbox {Re}}} \ right)} VS=-2Buturuga10⁡(ε/D3,7+2,51BRe){\ displaystyle C = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ over 3,7} + {2,51B \ over {\ mbox {Re}}} \ right)} fD=(LA-(B-LA)2VS-2B+LA)-2{\ displaystyle f_ {D} = \ left (A - {\ frac {(BA) ^ {2}} {C-2B + A}} \ right) ^ {- 2}}

Corelația Goudar-Sonnad în prezent cea mai precisă aproximare, este dată cu o eroare absolută maximă mai mică de 0,000 364% pentru mai mult de 10 000 de puncte între 4000 <Re <10 8 și 10 -6 <ε / D <10 -2 .

la=2ln⁡(10){\ displaystyle a = {2 \ over \ ln (10)}} ;  ;b=ε/D3,7{\ displaystyle b = {\ varepsilon / D \ peste 3,7}}d=ln⁡(10)Re5,02{\ displaystyle d = {\ ln (10) Re \ over 5.02}} s=bd+ln⁡(d){\ displaystyle s = bd + \ ln (d)} ; q=ss(s+1){\ displaystyle q = s ^ {\ frac {s} {(s + 1)}}} g=bd+ln⁡dq{\ displaystyle g = {bd + \ ln {d \ over q}}} ; z=ln⁡qg{\ displaystyle z = {\ ln {q \ over g}}}

Două posibilități diferite sunt disponibile pentru a calcula δ

1) δLLA=zgg+1{\ displaystyle \ delta _ {LA} = z {g \ over {g + 1}}} 2) δVSFLA=δLLA((1+z/2(g+1)2+(z/3)(2g-1))){\ displaystyle \ delta _ {CFA} = \ delta _ {LA} \ left ((1 + {\ frac {z / 2} {(g + 1) ^ {2} + (z / 3) (2g-1 )}}) \ dreapta)} 1fD=la[ln⁡(dq)+δ]{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = a \ left [\ ln {\ left ({\ frac {d} {q}} \ right)} + \ delta \ right ]}

• Stuart W. Churchill a dezvoltat o formulă pentru cele două regimuri, laminară și turbulentă:

fD=8((8Re)12+(LA+B)-1,5)112{\ displaystyle f_ {D} = 8 \ left (\ left ({\ frac {8} {Re}} \ right) ^ {12} + \ left (A + B \ right) ^ {- 1,5} \ dreapta) ^ {\ frac {1} {12}}} LA=(2.457ln⁡(((7Re)0,9+0,27eD)-1))16{\ displaystyle A = \ left (2 {,} 457 \ ln \ left (\ left (\ left ({left {{frac {7} {Re}} \ right) ^ {0.9} +0.27 {\ frac {e} { D}} \ right) ^ {- 1} \ right) \ right) ^ {16}} B=(37530Re)16{\ displaystyle B = \ left ({\ frac {37530} {Re}} \ right) ^ {16}}

În condiții de turbulență, unii autori specifică domeniul de aplicare a formulelor anterioare, în funcție de produs , caracterizând rugozitatea țevilor: ReεD{\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}}

• Pentru (plimbare lină): ReεD<65{\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <65}
  • pentru  : formula Blasius indicată mai sus;2300<Re<105{\ displaystyle 2300 <{\ mbox {Re}} <10 ^ {5}}
  • pentru  : formula Hermann:  ;2300<Re<106{\ displaystyle 2300 <{\ mbox {Re}} <10 ^ {6}}fD=0,0054+0,396Re0,3{\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0054 + {\ frac {0 {,} 396} {{\ mbox {Re}} ^ {0.3}}}}
  • pentru  : formula Nikuradze  :  ;105<Re<5106{\ displaystyle 10 ^ {5} <{\ mbox {Re}} <5 \, 10 ^ {6}}fD=0,0032+0,221Re-0,237{\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0032 + 0 {,} 221 \, {\ mbox {Re}} ^ {- 0 {,} 237}}
  • pentru  : formula lui Prandtl și v. Karman  : .Re>106{\ displaystyle {\ mbox {Re}}> 10 ^ {6}}1fD=2log10(RefD)-0,8{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 2 \, log_ {10} \ left ({{\ mbox {Re}} \, {\ sqrt {f_ {D}} }} \ dreapta) -0 {,} 8}

• Pentru (conducere aspră): ReεD>1300{\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}> 1300}
  • Formula lui Nikuradze: 1fD=2Buturuga10⁡(Dε)+1,14{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 2 \, \ log _ {10} \ left ({\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) +1 { ,} 14}
  • Formula Moody's: fD=0,0055+0,15(εD)13{\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0055 + 0 {,} 15 \, \ left ({\ frac {\ varepsilon} {D}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}
  • Formula ECK: fD=0,25(log10(3,71Dε))2{\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {0 {,} 25} {\ left (log_ {10} \ left (3 {,} 71 \, {\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) \ dreapta) ^ {2}}}}

• Pentru (conductă intermediară): 65<ReεD<1300{\ displaystyle 65 <{\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <1300}
  • Formula Prandlt și Colebrook prezentată mai sus (formula Colebrook)
  • Formula lui Altschoul: 1fD=1,8Buturuga10⁡(ReRe(ε10D)+7){\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 1 {,} 8 \, \ log _ {10} \ left ({\ frac {\ mbox {Re}} {{\ mbox {Re}} \, \ left ({\ frac {\ varepsilon} {10 \, D}} \ right) +7}} \ right)}
  • Formula Citrini: fD=1+8ReεD(2Buturuga10⁡(3,71⋅Dε))2{\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {1 + {\ frac {8} {{\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}}}} {\ left (2 \ , \ log _ {10} \ left (3 {,} 71 \ cdot {\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) \ right) ^ {2}}}}

Note și referințe

1. (în) Thomas Bradford Drew , Progrese în inginerie chimică , zbor.  10, New York, Academic Press , Inc,1978, 336  p. ( ISBN  0-12-008510-0 ) , p.  137
2. Paraschivoiu 2003 , p.  317.
3. Paraschivoiu 2003 , p.  321.
4. (în) SE Haaland , "  Formule simple și explicite pentru factorul de frecare în flux turbulent  " , Journal of Fluids Engineering , vol.  105, n o  1,Martie 1983, p.  89-90 ( DOI  10.1115 / 1.3240948 )
5. (în) PK Swamee și AK Jain , „  Ecuații explicite pentru problemele de curgere a țevilor  ” , Jurnalul Diviziei Hidraulice , Vol.  102, nr .  5,1976, p.  657-664
6. (în) TK Serghides , „  Factor de frecare estimat cu precizie  ” , Inginerie chimică , vol.  91, nr .  5,1984, p.  63-64 ( ISSN  0009-2460 )
7. (în) CT Goudar și JR Sonnad , „  Comparația aproximării iterative a ecuației Colebrook-White  ” , Prelucrarea hidrocarburilor ,August 2008( citește online )
8. (în) CT Goudar și JR Sonnad , "  Reformularea explicită a ecuației Colebrook-White pentru calculul factorului de frecare a fluxului turbulent  " , Cercetări chimice industriale și inginerești , vol.  46,2007, p.  2593-2600 ( DOI  10.1021 / ie0340241 )
9. Churchill, SW, 1977, „Ecuațiile factorului de frecare acoperă toate intervalele de curgere a fluidelor.”, Chem. Eng. , 91
10. Bohl și Elmendorf 2008 , p.  164-165.

Vezi și tu

Bibliografie

 : document utilizat ca sursă pentru acest articol.

• Ion Paraschivoiu , Michel Prud'homme , Luc Robillard și Patrick Vasseur , Mecanica fluidelor , Montreal, Presses internationales Polytechnique,2003, 450  p. ( ISBN  2-553-01135-0 ). 
• (de) Willi Bohl și Wolfgang Elmendorf , Technische Strömungslehre , Würzburg, Vogel Fachbuch,2008, Ed. A 14- a  . , 504  p. ( ISBN  978-3-8343-3129-8 )

Articole similare

• Ecuația Hazen-Williams
• Mecanica fluidelor
• Diagrama lui Moody's

linkuri externe

• Aplicație web cu calcul de cădere de presiune pentru țevi și conducte