Ecuația Boltzmann-Peierls

În fizica în stare solidă , ecuația Boltzmann-Peierls descrie evoluția funcției de distribuție a fononilor într-un solid cristalin . A fost înființată de Rudolf Peierls în 1929.

Ecuația evoluției

Fononi sunt bosoni descrise de funcția lor de distribuție , care este spațiul variabil, timp, vectorul de undă și denotă polarizare. ${\ displaystyle n _ {\ lambda} (\ mathbf {k}, \ mathbf {x}, t)}$ $\ mathbf {x}$ $t$ ${\ mathbf {k}}$ $\ lambda$

Ecuația de conservare a lui n este scrisă pentru orice polarizare

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} n} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial n} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla n = S_ {N} + S_ {R}}

$S_N$ este termenul numit normal care provine din procesele anarmonice ale vibrației rețelei de cristal și care păstrează impulsul ,
${\ displaystyle S_ {R}}$ termenul de difuzie care conservă energia, dar nu impulsul, legat de interacțiunea fononului cu o imperfecțiune a rețelei cristaline, de o limită fizică a mediului (marginea eșantionului sau limita granulelor ), de o interacțiune cu un electron sau la procesul umklapp . Acest termen se numește rezistiv deoarece, spre deosebire de termenul legat de procesul normal, contribuie la rezistența termică a conducției .
viteza de propagare sau viteza de grup este legată de pulsația undei de . ${\ mathbf {vb}}$ $\omega$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla _ {\ mathbf {k}} \ omega}$

Termeni de difuzare

Este posibil să scriem termenii de difuzare într-un mod riguros, dar acest lucru are doar un interes modest în măsura în care fenomenul se referă la centre difuzoare care sunt slab cunoscute în geometrie și în număr. Se utilizează cel mai adesea o aproximare de tip relaxare

{\ displaystyle S = \ tau ^ {- 1} (n_ {eq} -n)}

${\ displaystyle \ tau (\ omega, T)}$ este un timp de relaxare caracteristic fenomenului de difuzie.

Demonstrație

Pentru un mediu omogen în care distribuția de echilibru este ecuația Boltzmann-Peierls în aproximarea relaxării se reduce la ${\ displaystyle n_ {eq}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} n} {\ mathrm {d} t}} = \ tau ^ {- 1} (n_ {eq} -n)}

care descrie un fenomen de relaxare spre echilibru cu constanta de timp $\ tau$

{\ displaystyle n (t) = n_ {0} + (n_ {eq} -n_ {0}) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

Când mai multe fenomene se suprapun, acest timp caracteristic se obține prin aplicarea regulii lui Matthiessen

{\ displaystyle \ tau ^ {- 1} = \ sum _ {i} \ tau _ {i} ^ {- 1}}

În această aproximare se scrie ecuația de transport

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla n = \ tau _ {N} ^ {- 1} (n_ {N} -n) + \ tau _ {R} ^ {- 1} (n_ {0} -n)}

$n_ {0}$ este distribuția de echilibru termodinamic dată de statistica Bose-Einstein cu potențial chimic zero:

{\ displaystyle n_ {0} (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {e ^ {\ beta \ hbar \ omega (\ mathbf {k})} - 1}} \ ,, \ quad \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}}

unde temperatura termodinamică .

T

${\ displaystyle n_ {N}}$ este distribuția Bose-Einstein în cadru în mișcare la viteza de deriva : $\ mathbf {u}$

{\ displaystyle n_ {N} (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {e ^ {\ hbar [\ beta \ omega (\ mathbf {k}) + \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf { k}]} - 1}}}

Spre deosebire de distribuția Bose-Einstein, această distribuție nu este izotropă.

Demonstrație

Distribuția de echilibru corespunde entropiei maxime la energie fixă și, dacă este cazul, la impuls fix. Această entropie este scrisă:

{\ displaystyle S_ {k} = k_ {B} \ alpha \ left [\ left (1 + {\ frac {n} {\ alpha}} \ right) \ log {\ left (1 + {\ frac {n} {\ alpha}} \ right)} - ​​\ left ({\ frac {n} {\ alpha}} \ right) \ log {\ left ({\ frac {n} {\ alpha}} \ right)} \ right] \ ,, \ quad \ alpha = {\ frac {3} {(2 \ pi) ^ {3}}}}

Tensiunile vor fi scrise folosind multiplicatorii Lagrange notați și . În cazul proceselor rezistive, maximizăm , energia volumului fiind fixă, ceea ce duce la distribuția Bose-Einstein. În cazul proceselor normale, cantitatea care trebuie maximizată este , impulsul fiind de asemenea fixat. Acest lucru duce la distribuția dată mai sus. Viteza de deriva nu poate fi calculată analitic decât în cazuri speciale. $\ beta$ $\ mathbf {u}$ ${\ displaystyle S_ {k} + \ beta \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ hbar \ omega n \ mathrm {d} \ mathbf {k} -E \ right)}$ $E$ ${\ displaystyle S_ {k} + \ beta \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ hbar \ omega n \ mathrm {d} \ mathbf {k} -E \ right) + \ mathbf {u} \ cdot \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ hbar \ mathbf {k} n \ mathrm {d} \ mathbf {k} - \ mathbf {p} \ right)}$ $\ mathbf {p}$ ${\ displaystyle n_ {N}}$ $\ mathbf {u}$

Calculul conductivității termice

Conductivitatea termică poate fi calculată prin rezolvarea ecuației de transport. Este posibil să se ofere o soluție analitică în cazul staționar și lungimile de undă lungi (unde acustice cu prin înlocuirea derivatei de cu cea din termenul de advecție . Această metodă datorată lui Joseph Callaway este în utilizare destul de obișnuită. ${\ displaystyle \ omega = vk}$ $nu$ $n_ {0}$

Referințe

(în) Rudolf Peierls , „ Zur Theorie der kinetischen Wärmeleitung in Kristallen ” , Annalen der Physik , n o 3,1929
(ro) JM Ziman , Electrons and Phonons , Clarendon Press ,1960
(ro) Ingo Muller și Tomasso Ruggieri, Rational Extended Thermodynamics , Springer ,1998( ISBN 978-1-4612-7460-5 )
(în) Michael Fryer, The Macroscopic Transport Equations of Phonons in Solids , Universitatea din Victoria,2010( citește online )
(în) Joseph Callaway , „ Model for Lattice Thermal Conductivity at Low Temperature ” , Physical Review , vol. 113, nr . 4,1958