Echivalența distanțelor

Diferite noțiuni de echivalență la distanță sunt utilizate în topologie , o ramură a matematicii referitoare la studiul deformațiilor spațiale prin transformări continue (fără rupere sau reașocare a structurilor).

Având în vedere un spațiu topologic metrizabil ( X , T ), se pot găsi diferite distanțe care definesc aceeași topologie T . De exemplu, topologia obișnuită a lui ℝ poate fi definită prin distanța d : ( x , y ) ↦ | x - y |, dar și cu d / (1 + d ), sau orice multiplu al lui d printr-un real strict pozitiv. Prin urmare, este necesar să se specifice „echivalențele” dintre astfel de distanțe.

Definiții

Se spun două distanțe d 1 și d 2 pe același set X :

echivalent topologic dacă topologiile asociate sunt identice (aceleași deschise ), adică dacă maparea identității , a lui ( X , d 1 ) în ( X , d 2 ), este un homeomorfism sau, din nou (după caracterizarea secvențială a continuității ) dacă au aceleași secvențe convergente ;
echivalent uniform dacă harta de identitate a lui X este uniform continuă de la ( X , d 1 ) la ( X , d 2 ) și, de asemenea, de la ( X , d 2 ) la ( X , d 1 );
echivalente bornologic dacă sunt echivalente uniform și dacă cele două distanțe definesc aceleași părți delimitate;
Echivalent Lipschitz dacă există constante strict pozitive a și b astfel încât ad 1 ≤ d 2 ≤ bd 1 .

Toate aceste relații între distanțe sunt relații de echivalențe .

Exemple

Următorul exemplu face posibilă evidențierea neechivalenței diferitelor noțiuni de echivalențe descrise mai sus: putem furniza ℝ cu cele patru distanțe:

${\ displaystyle d_ {1} (x, y) = | xy |}$ ; ${\ displaystyle d_ {2} (x, y) = | x ^ {3} -y ^ {3} |}$ ; ${\ displaystyle d_ {3} (x, y) = \ min \ {1, d_ {1} (x, y) \}}$ ; ${\ displaystyle d_ {4} (x, y) = d_ {1} (x, y) / (1 + d_ {1} (x, y))}$ .

Verificăm apoi că distanțele d 1 și d 2 sunt echivalente topologic, dar nu sunt uniform echivalente (deși au aceleași secvențe Cauchy ), că distanțele d 1 și d 3 sunt uniform echivalente, dar nu sunt echivalente din punct de vedere natologic, atunci că distanțele d 3 și d 4 sunt echivalente din punct de vedere natologic, dar nu sunt echivalente cu Lipschitz.

Note și referințe

Y. Sonntag, Topologie și analiză funcțională .
Acest lucru rămâne valabil pentru distanțele asociate în mod similar cu orice spațiu metric ( E , d 1 ).
Acest lucru se datorează numai alegerii unei distanțe nelimitate d 1 .

Articole similare