Ecuații Stokes-Oseen

În dinamica fluidelor, ecuațiile Stokes-Oseen descriu fluxul unui fluid vâscos incompresibil pentru un număr redus de Reynolds . Această formulare propusă de Carl Wilhelm Oseen în 1910 este o îmbunătățire a ecuațiilor Stokes în care termenul inerțial este inclus într-un mod aproximativ.

Opera lui Oseen se bazează pe experimentele lui George Gabriel Stokes despre căderea unei sfere într-un lichid vâscos. El a dezvoltat un termen de corecție pentru a rezolva paradoxul lui Stokes .

Ecuații văzute

Pentru un obiect care se mișcă la o viteză mică într-un fluid, fluxul este descris într-un cadru de referință legat de obiect prin următoarele ecuații: $U$

{\ displaystyle {\ begin {align} - \ rho \ mathbf {U} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} & = - \ nabla p \, + \, \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} , \\\ nabla \ cdot \ mathbf {u} & = 0, \ end {align}}}

$u$ este viteza în sistemul de referință,
$p$ presiunea,
$ρ$ densitatea,
$p$ viscozitatea dinamică ,
∇ este operatorul de gradient și
∇ 2 Laplacianul .

Condițiile la graniță sunt următoarele:

{\ displaystyle \ mathbf {u} = 0}

pe suprafața obiectului,

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ to - \ mathbf {U}}

și când

{\ displaystyle p \ to p _ {\ infty}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} \ to \ infty}

unde $r$ este distanța până la centrul cadrului care însoțește obiectul și presiunea din mediul care nu este perturbată de prezența acestui obiect. ${\ displaystyle p _ {\ infty}}$

Soluție pentru o sferă

Ca și în cazul unui flux Stokes , este posibil să se calculeze analitic forța exercitată pe o sferă de rază r:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = -6 \ pi \ mu r \ mathbf {U} \ left (1 + {\ frac {3} {16}} Re \ right)}

unde Re este numărul Reynolds bazat pe diametru

{\ displaystyle Re = {\ frac {2 \ rho Ur} {\ mu}}}

Prin introducerea coeficientului de tragere

{\ displaystyle C_ {A} = {\ frac {| F |} {1/2 \ pi r ^ {2} \ rho U ^ {2}}}}

obținem relația foarte simplă

{\ displaystyle C_ {A} = {\ frac {24} {Re}} \ left (1 + {\ frac {3} {16}} Re \ right)}

Dacă expresia datorată lui Stokes subestimează tragerea, această expresie tinde dimpotrivă să o supraestimeze în comparație cu rezultatele testului (vezi curba).

Referințe

(De) Carl Wilhelm Oseen , " Über die Stokes'sche formal, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik " , Arkiv för matematik, astronomi och fysik , vol. vi, n o 29,1910
(în) Lev Landau și Evgeny Lifshitz , Mecanica fluidelor , Oxford, Pergamon Press ,1987, 539 p. ( ISBN 0-08-033933-6 , citit online )
(en) George K. Batchelor , An Introduction to Fluid Mechanics , Cambridge / New York, Cambridge University Press ,2000, 615 p. ( ISBN 0-521-66396-2 )
P. Chassaing , Mecanica fluidelor: elemente ale unui prim curs , CEPADUES EDITIONS,2000, 450 p. ( ISBN 978-2-85428-509-3 )
(în) FW Roos și WW Willmarth, „ Unele rezultate experimentale sunt sfera și tracțiunea pe disc ” , AIAA Journal , Vol. 9, n o 21971, p. 285-291