Ecuația integrală Volterra

În analiză , o ecuație integrală Volterra este o ecuație integrală .

Istorie

Ecuațiile integrale apar în special în rezolvarea problemelor Cauchy și a ecuațiilor diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Lucrarea lui Ivar Fredholm asupra teoriei ecuațiilor integrale de al doilea fel a făcut posibilă obținerea de rezultate cu privire la rezoluție ( alternativa Fredholm ).

Definiții

Ecuațiile integrale depind de o funcție K , pe care o numim nucleul ecuației. Principala diferență între ecuațiile integrale ale lui Fredholm și cele din Volterra se află în limitele operatorului integral: cele ale ecuațiilor lui Fredholm sunt fixe, în timp ce cele ale ecuațiilor lui Volterra sunt variabile.

Ecuația integrală Volterra de primul fel

Ecuația integrală Volterra de primul fel este o ecuație integrală a formei:

g(X)=∫laXK(X,t,f(t))dt{\ displaystyle g (x) = \ int _ {a} ^ {x} K (x, t, f (t)) \ mathrm {d} t}

unde f este funcția necunoscută, K și g primesc funcții.

Ecuația integrală Volterra de tipul al doilea

Ecuația integrală Volterra de tipul al doilea este un caz special al ecuațiilor liniare Fredholm integrale de tipul al doilea:

f(X)=g(X)+λ∫laXK(X,t,f(t))dt,la⩽t⩽X⩽b{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x, t, f (t)) \ mathrm {d} t, \ quad a \ leqslant t \ leqslant x \ leqslant b}

unde f este funcția necunoscută, K și g primesc funcții și λ un parametru numeric fix.

Forme liniare și omogene

Se va spune că ecuația este liniară dacă nucleul este de formă

K(X,t,f(t))=K(X,t)f(t){\ displaystyle K (x, t, f (t)) = K (x, t) f (t)}

Se va spune că ecuația este omogenă dacă g = 0 .

Trecerea între ecuațiile de primul fel și al doilea

Prin diferențierea unei ecuații integrale Volterra de primul fel, găsim:

g′(X)=K(X,X,f(X))+∫laX∂K∂X(X,t,f(t))dt{\ displaystyle g '(x) = K (x, x, f (x)) + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {\ partial K} {\ partial x}} (x, t, f (t)) \, \ mathrm {d} t}

care este sub forma ecuației de al doilea fel.

Rezoluții

Prin metoda de iterație Picard

Metoda de iterație Picard constă în construirea unei soluții ca limită a unei secvențe de funcții definite prin inducție:

∀nu⩽0, fnu+1(X)=g(X)+λ∫labR(X,t,fnu(t))dt.{\ displaystyle \ forall n \ leqslant 0, \ f_ {n + 1} (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} R (x, t, f_ {n} (t )) \ mathrm {d} t.}

Funcționează dacă g și K sunt continue. Mai întâi vom presupune că f 0 continuă.

Prin metoda lui Fredholm

Rezolvarea prin metoda lui Fredholm oferă o soluție a formei

f(X)=g(X)+λ∫labR(X,t;λ)g(t)dt{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} R (x, t; \ lambda) g (t) \ mathrm {d} t}

cu R denotând hotărâtorul lui Fredholm

R(X,t;λ)=D(X,t;λ)D(λ){\ displaystyle R (x, t; \ lambda) = {\ frac {D (x, t; \ lambda)} {D (\ lambda)}}}

unde funcțiile D , sunt definite de

D(λ)=∑nu=1+∞(-1)nunu!VSnuλnu , D(X,t;λ)=K(X,t)+∑nu=1+∞(-1)nunu!Bnu(X,t)λnu{\ displaystyle D (\ lambda) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} C_ {n} \ lambda ^ {n } \, \ D (x, t; \ lambda) = K (x, t) + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n !}} B_ {n} (x, t) \ lambda ^ {n}}

cu

VSnu=∫lab∫lab...∫lab⏟nu timp|K(t1,t1)K(t1,t2)...K(t1,tnu)K(t2,t1)K(t2,t2)...K(t2,tnu)⋮⋮⋱⋮K(tnu,t1)K(tnu,t2)...K(tnu,tnu)|dt1...dtnu , Bnu(X,t)=∫lab∫lab...∫lab⏟nu timp|K(X,t)K(X,t1)...K(X,tnu)K(t1,t)K(t1,t1)...K(t1,tnu)⋮⋮⋱⋮K(tnu,t)K(tnu,t1)...K(tnu,tnu)|dt1...dtnu.{\ displaystyle C_ {n} = \ underbrace {\ int _ {a} ^ {b} \ int _ {a} ^ {b} \ ldots \ int _ {a} ^ {b}} _ {n \ {\ textrm {times}}} \ left | {\ begin {matrix} K (t_ {1}, t_ {1}) & K (t_ {1}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {1} , t_ {n}) \\ K (t_ {2}, t_ {1}) & K (t_ {2}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {2}, t_ {n}) \ \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K (t_ {n}, t_ {1}) & K (t_ {n}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {n}, t_ {n}) \ \\ end {matrix}} \ right | \ mathrm {d} t_ {1} \ ldots \ mathrm {d} t_ {n} \, \ B_ {n} (x, t) = \ underbrace {\ int _ {a} ^ {b} \ int _ {a} ^ {b} \ ldots \ int _ {a} ^ {b}} _ {n \ {\ textrm {times}}} \ left | {\ begin {matrix} K (x, t) & K (x, t_ {1}) & \ ldots & K (x, t_ {n}) \\ K (t_ {1}, t) & K (t_ {1}, t_ {1}) & \ ldots & K (t_ {1}, t_ {n}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K (t_ {n}, t) & K (t_ {n}, t_ {1}) & \ ldots & K (t_ {n}, t_ {n}) \\\ end {matrix}} \ right | \ mathrm {d} t_ {1} \ ldots \ mathrm {d} t_ {n}.}

Funcția D ( x , t  ; λ) este determinantul Fredholm , iar D (λ) este minorul Fredholm .

Referințe

1. Émile Cotton, „  Aproximări succesive și ecuații diferențiale  ”, Mémorial des sciences mathiques , n o  28,1928( citește online )

Vezi și tu

• Ecuația integrală Fredholm
• Funcția Dickman

linkuri externe

• A. Rahmoune, „  Ecuații integrale liniare și neliniare - tehnici de analiză și rezolvare  ”
• (ro) Eric W. Weisstein , „  Volterra Integral Equation of the First Kind  ” , pe MathWorld
• (ro) Eric W. Weisstein , „  Volterra Integral Equation of the Second Kind  ” , pe MathWorld

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">