Ecuație diferențială omogenă

Expresia ecuației diferențiale omogene are două semnificații complet distincte și independente.

Ecuația diferențială de ordinul I, omogenă de gradul n

O ecuație diferențială de ordinul întâi care nu este neapărat liniară se spune că este omogenă de gradul n dacă poate fi scrisă sub forma

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = F (x, y)}

unde F este o funcție omogenă de grad n , adică satisfăcătoare

{\ displaystyle F (tx, ty) = t ^ {n} F (x, y) \,}

Cu alte cuvinte (prin setarea h ( u ) = F (1, u )), este o ecuație care este scrisă

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = x ^ {n} h \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}

Cazul n = 0

Cel mai studiat caz este cel în care gradul de omogenitate este 0, atât de mult încât în acest caz gradul nici măcar nu este menționat. Rezoluția unei astfel de ecuații se face prin separarea variabilelor : grație substituției , ecuația omogenă ${\ displaystyle u (x) = {\ frac {y (x)} {x}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = h \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}

se transformă într-o ecuație cu variabile separate :

{\ displaystyle {\ frac {u '(x)} {h \ left (u (x) \ right) -u (x)}} = {\ frac {1} {x}}}

Ecuație diferențială liniară omogenă

Se spune că o ecuație diferențială liniară de orice ordin este omogenă dacă al doilea membru al acestuia este zero, adică dacă este de formă

{\ displaystyle Ly = 0 \,}

unde operatorul diferențial L este o hartă liniară și y este funcția necunoscută.

Exemple

${\ displaystyle ay '' (x) + de '(x) + cy (x) = 0}$ este o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți .

{\ displaystyle a, b, c}

constante presupuse a fi cunoscute

${\ displaystyle a (x) y '(x) + b (x) y (x) = 0}$ este o ecuație diferențială liniară omogenă de primul ordin cu coeficienți variabili

{\ displaystyle a (x), b (x)}

funcții presupuse a fi cunoscute <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">