Ecuația diferențială a lui Bernoulli

O ecuație diferențială Bernoulli este un prim ordin ecuație diferențială a formei . ${\ displaystyle y '(x) + a (x) y (x) = b (x) y ^ {m} (x) ~}$

Descriere

Prin urmare, considerăm ecuația:

{\ displaystyle y '(x) + a (x) y (x) = b (x) y ^ {m} (x) ~}

unde $m$ este un real altul decât 0 și 1 și unde $a$ și $b$ sunt hărți definite pe un interval deschis $I$ de și cu valori reale. În general, este un număr natural, dar putem lua $m$ real cu condiția să căutăm $y$ cu valori strict pozitive. În general, $a$ și $b$ sunt funcții continue. $\ mathbb {R}$ $m$

Această formă de ecuație a fost propusă de Jacques Bernoulli în 1695 și rezolvată un an mai târziu de Leibniz datorită unei schimbări de funcție care ne readuce la o ecuație diferențială liniară .

Presupunând că funcția $y$ are valori strict pozitive în intervalul $I$ , putem împărți ecuația la $y m ( x )$ și obținem

{\ displaystyle {\ frac {y '(x)} {y ^ {m} (x)}} + a (x) {\ frac {1} {y ^ {m-1} (x)}} = b (X)}

Noi pozăm

{\ displaystyle u (x) = {\ frac {1} {y ^ {m-1} (x)}} = y ^ {1-m} (x)}

prin urmare

{\ displaystyle u '(x) = (1-m) y ^ {- m} (x) y' (x) = {\ frac {(1-m) y '(x)} {y ^ {m} (X)}}.}

Ecuația lui Bernoulli pe $y$ este deci echivalentă cu ecuația diferențială liniară de ordinul unu pe $u$ :

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-m}} u '(x) + a (x) u (x) = b (x)}

a cărei soluție generală este

{\ displaystyle u (x) = \ exp \ left (- (1-m) \ int a (t) \ mathrm {d} t \ right) \ left (C + (1-m) \ int b (t) \ exp \ left ((1-m) \ int a (s) \ mathrm {d} s \ right) ~ \ mathrm {d} t \ right),}

ceea ce oferă funcția : ${\ displaystyle y = u ^ {1 / (1-m)}}$

{\ displaystyle y (x) = \ exp \ left (- \ int a (t) \ mathrm {d} t \ right) \ left (C + (1-m) \ int b (t) \ exp \ left ( (1-m) \ int a (s) \ mathrm {d} s \ right) ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {1 \ over 1-m}}

Soluția acestei ecuații care trece prin punctul $( x 0 , y 0 )$ este funcția $y$ definită de:

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} \ exp \ left (- \ int _ {x_ {0}} ^ {x} a (t) \ mathrm {d} t \ right) \ left (1+ ( 1-m) y_ {0} ^ {m-1} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} b (t) \ left [\ exp \ left (- \ int _ {x_ {0}} ^ {t} a (s) \ mathrm {d} s \ right) \ right] ^ {m-1} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {1-m}}}

Soluțiile pot fi căutate printre funcțiile care nu sunt peste tot pozitive în domeniul lor de definiție, dar atunci trebuie luate multe precauții cu privire la domeniile de validitate ale soluțiilor.

Note și referințe

Vezi și tu

Surse și bibliografie

(ro) John E. Sasser, [PDF] - Istoria ecuațiilor diferențiale obișnuite - Primul sută de ani
J. Lelong-Ferrand și J.-M. Arnaudiès, curs de matematică , volumul 4

Articol asociat

Jacques Bernoulli