Ecuația lui Richards

Ecuația Richards descrie transferul de apă în soluri nesaturate . Deși poartă numele lui Lorenzo A. Richards , care a publicat-o în 1931, fusese stabilită cu 9 ani mai devreme de Lewis Fry Richardson în eseul său „Predicția vremii prin proces numeric” (1922). Este o ecuație diferențială parțială neliniară , pentru care se știe soluția analitică numai pentru anumite situații foarte simple.

Se bazează pe combinația ecuației Darcy extinsă la un mediu nesaturat de Edgar Buckingham și ecuația continuității. Această ecuație (numită ecuația Richards) este scrisă pentru un flux vertical într- o stare tranzitorie  :

∂θ∂t=∂∂z[K(θ)(∂h∂z+1)] {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K (\ theta) \ left ({\ frac {\ partial h } {\ partial z}} + 1 \ right) \ right] \}

sau

K{\ displaystyle K} este conductivitatea hidraulică a solului. h{\ displaystyle h}este sarcina matricială datorată acțiunii capilare , z{\ displaystyle z}este altitudinea în raport cu un sistem de referință geodezic , θ{\ displaystyle \ theta}este conținutul volumetric de apă și t{\ displaystyle t}este timpul .

De la ipoteze la ecuație

Ecuația lui Richards va fi stabilită aici în cazul simplu al unui flux vertical. Principiul conservării masei afirmă că rata de modificare a gradului de saturație a unei particule este egală cu rata de modificare a sumei debitelor q care intră și ies din acest volum:

∂θ∂t=∇→⋅(∑eu=1nuq→eu,în-∑j=1mq→j,afară){\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {{\ vec {q }} _ {i, \, {\ text {in}}}} - \ sum _ {j = 1} ^ {m} {{\ vec {q}} _ {j, \, {\ text {out} }}} \ dreapta)}

Puse într-o formă unidimensională pentru direcție , obținem ecuația de continuitate în 1D: k^{\ displaystyle {\ hat {k}}}

∂θ∂t=-∂∂zq{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial z}} q}

Densitatea fluxului de apă q într-un sol supus unui gradient hidraulic al capului este guvernată de legea empirică a lui Darcy:

q=-K∂H∂z{\ displaystyle q = -K {\ frac {\ partial H} {\ partial z}}}

Plasând densitatea fluxului q în ecuația de continuitate de mai sus, obținem:

∂θ∂t=∂∂z[K∂H∂z]{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} \ dreapta]}

Presupunând că sarcina hidraulică totală este compusă din matricea și sarcina gravitațională (H = h + z ), obținem:

∂θ∂t=∂∂z[K(∂h∂z+∂z∂z)]=∂∂z[K(∂h∂z+1)]{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K \ left ({\ frac {\ partial h} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial z} {\ partial z}} \ right) \ right] = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K \ left ({\ frac {\ parțial h} {\ partial z}} + 1 \ right) \ right]}

Se obține astfel ecuația anunțată, cunoscută sub numele de „formulare mixtă” (sau cu două câmpuri) a ecuației lui Richards.

Formulări

Ecuația lui Richards este utilizată în multe articole de știință a mediului, deoarece descrie fluxul în zona vadose, dar caracterul său neliniar este, de asemenea, de interes pentru matematicieni. Se găsește de obicei sub trei forme. Formularea mixtă (văzută mai sus) implică presiunea porilor și gradul de saturație; dar îl putem scrie afișând un singur câmp: capul hidraulic sau rata de saturație.

Ecuația de încărcare

VS(h)∂h∂t=∇⋅(K(h)∇H){\ displaystyle C (h) {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot \ left (K (h) \ nabla H \ right)}

unde C (h) [1 / L] este o funcție care descrie rata de schimbare a gradului de saturație în funcție de capul hidraulic:

VS(h)≡∂θ∂h{\ displaystyle C (h) \ equiv {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial h}}}

Această funcție se numește „capacitate de reținere specifică” în literatură: poate fi măsurată pentru diferite tipuri de sol prin măsurarea ratei de infiltrare a apei într-o coloană de sol, așa cum arată Genuchten (1980).

Ecuația cu grade de saturație

∂θ∂t=∇⋅D(θ)∇θ{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot D (\ theta) \ nabla \ theta}

unde D ( θ ) [L 2 / T] este difuzivitatea hidraulică a solului:

D(θ)≡K(θ)VS(θ)≡K(θ)∂h∂θ{\ displaystyle D (\ theta) \ equiv {\ frac {K (\ theta)} {C (\ theta)}} \ equiv K (\ theta) {\ frac {\ partial h} {\ partial \ theta}} }

Limitări

Rezolvarea ecuației lui Richards numeric rămâne una dintre cele mai dificile probleme de analiză numerică pentru științele naturii. În plus, ecuația lui Richards a fost criticată, uneori pentru sofisticarea sa excesivă, alteori pentru caracterul său „prea simplist”; Oricum, comportamentul haotic al soluțiilor sale este bine cunoscut: nu există niciun rezultat al convergenței pentru o lege constitutivă dată. Acest risc de non-convergență restricționează aplicarea generală a modelului Richards, care a fost criticat și pentru locul excesiv pe care îl acordă fenomenelor de capilaritate în transferurile de apă; chiar și pentru simularea infiltrării verticale a apei de ploaie în solul uscat, este nevoie de un pas spațial mai mic de un cm în apropierea suprafeței, datorită dimensiunii minuscule a volumului reprezentativ al fluxurilor multifazice în porosul mediu. În ceea ce privește calculele tridimensionale, soluția ecuației Richards este sensibilă la anizotropia solului: raportul dintre permeabilitatea orizontală și verticală nu ar trebui să depășească mult 7 pentru ca soluția să fie stabilă.

Note

1. LA Richards, „  Conducția capilară a lichidelor prin medii poroase  ” , Physics , vol.  1, n o  5,1931, p.  318–333 ( DOI  10.1063 / 1.1745010 , Bibcode  1931Physi ... 1..318R )
2. John Knight și Peter Raats , „  Contribuțiile lui Lewis Fry Richardson la teoria drenajului, fizica solului și continuumul sol-plantă-atmosferă  ” , la Adunarea Generală a EGU 2016
3. Lewis Fry Richardson , Predicția vremii prin proces numeric , Cambridge, presa Universității,1922, 262  p. , p.  108
4. Celia, „  O soluție numerică generală conservatoare de masă pentru ecuația fluxului nesaturat  ”, Cercetarea resurselor de apă , vol.  26, nr .  7,1990, p.  1483–1496 ( DOI  10.1029 / WR026i007p01483 , Bibcode  1990WRR .... 26.1483C )
5. M. Th. Van Genuchten , „  O ecuație în formă închisă pentru prezicerea conductivității hidraulice a solurilor nesaturate  ”, Soil Science Society of America Journal , vol.  44, nr .  5,1980, p.  892–898 ( DOI  10.2136 / sssaj1980.03615995004400050002x , Bibcode  1980SSASJ..44..892V , hdl  10338.dmlcz / 141699 )
6. Vezi Matthew W. Farthing și Fred L. Ogden, „  Soluția numerică a ecuației lui Richards: o revizuire a progreselor și provocărilor  ”, Soil Science Society of America Journal , vol.  81, nr .  6,2017, p.  1257-1269.
7. Vezi WG Gray și S. Hassanizadeh, „  Paradoxuri și realități în teoria fluxurilor nesaturate  ”, Water Resour. Rez. , vol.  27, n o  8,1991, p.  1847-1854.
8. Cf. D. Short, WR Dawes și I. White, „  Practicabilitatea utilizării ecuației lui Richards pentru modele de dinamică sol-apă cu scop general.  », Envir. Int'l , vol.  21, nr .  5,1995, p.  723-730.
9. Cf. MD Tocci, CT Kelley și CT Miller, „  Soluție precisă și economică a formei capului de presiune a ecuației lui Richards prin metoda liniilor  ”, Adv. Wat. Resurse. , vol.  20, n o  1,1997, p.  1-14.
10. Cf. P. Germann, „  Comentariu la„ Teoria pentru modelarea filmului de flux nesaturat care răspunde la sursă și la suprafață liberă  ”, Vadose Zone J. , vol.  9, n o  4,2010, p.  1000-1101.
11. Cf. Charles W. Downer și Fred L. Ogden, „  Discretizarea verticală adecvată a ecuației lui Richards pentru modelarea bidimensională a scării bazinelor hidrografice  ”, Hydrol. Proc. , n o  18,2003, p.  1-22 ( DOI  10.1002 / hyp.1306 ).

Vezi si

• (fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia în engleză intitulat „  Ecuația lui Richards  ” ( vezi lista autorilor ) .
• Infiltrare (hidrologie)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">