Ecuația Helmholtz (mecanica fluidelor)

In mecanica fluidelor Helmholtz ecuație este vorticitate ecuația de transport (sau vortex) pentru curgerea unui incompresibil barotropic fluid . A fost înființată de Hermann von Helmholtz în 1858.

Această ecuație este utilizată pentru studiul mecanismelor turbulenței și, în cazul non-vâscos, pentru studiul atmosferei.

Ecuațiile Navier-Stokes pentru un mediu incompresibil

Cele ecuațiile Navier-Stokes pentru un mediu incompresibil sunt scrise

• Ecuația de incompresibilitate

∇⋅V=0{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

• Ecuația echilibrului impulsului

∂V∂t+∇⋅(VV)=-1ρ∇p+ν∇2V+g{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {\ nabla} p + \ nu \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} + \ mathbf {g}}

unde ρ este densitatea variabilă presupusă, p presiunea, V viteza și ν vâscozitatea cinematică a fluidului. g este o forță externă.

Ecuația Helmholtz

Ecuația impulsului de mai sus poate fi scrisă

∂V∂t+12∇V2+Ω×V=-1ρ∇p+ν∇2V+g{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla V ^ {2} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {V} = - {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {\ nabla} p + \ nu \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} + \ mathbf {g}}

Am introdus în această ecuație vorticitatea

Ω=∇×V{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} = \ nabla \ times \ mathbf {V}}

luând rotația acestei ecuații noi vine (presupunem că g irotational)

∂Ω∂t+∇×(Ω×V)=1ρ2∇ρ×∇p+ν∇2Ω{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ Omega}}} {\ partial t}} + \ nabla \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {V}) = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ nabla \ rho \ times \ nabla p + \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ Omega}}}

Al doilea termen se dezvoltă după cum urmează

∇×(Ω×V)=(V⋅∇)Ω-V∇⋅Ω⏟≡0-(Ω⋅∇)V+Ω∇⋅V⏟= 0{\ displaystyle \ nabla \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {V}) = (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) {\ boldsymbol {\ Omega}} - \ mathbf {V} \, \ underbrace {\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ Omega}}} _ {\ equiv 0} - ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \, \ underbrace {\ nabla \ cdot \ mathbf {V}} _ {= ~ 0}}

În cele din urmă, ecuația de conservare a vorticității este scrisă

∂Ω∂t+(V⋅∇)Ω=(Ω⋅∇)V+ν∇2Ω+Π{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ Omega}}} {\ partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) {\ boldsymbol {\ Omega}} = ({\ boldsymbol { \ Omega}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ Omega}} + \ Pi}

unde Π este vectorul baroclinic

Π=1ρ2∇ρ×∇p{\ displaystyle \ Pi = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ nabla \ rho \ times \ nabla p}

Acest termen este zero pentru un fluid barotrop . Apoi obținem ecuația Helmholtz

∂Ω∂t+(V⋅∇)Ω=(Ω⋅∇)V+ν∇2Ω{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ Omega}}} {\ partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) {\ boldsymbol {\ Omega}} = ({\ boldsymbol { \ Omega}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ Omega}}}

Note

Referințe

1. (De) H. Helmholtz, „  Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen  ” , Journal für die Reine und angewandte Mathematik , vol.  55,1858, p.  25-55 ( citiți online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">