Ecuația Chapman-Kolmogorov

În teoria probabilității și mai precis în teoria proceselor stocastice markoviene , ecuația Chapman-Kolmogorov este o egalitate care leagă legile comune ale diferitelor puncte din traiectoria unui proces stochastic. Această ecuație a fost demonstrată independent de matematicianul britanic Sidney Chapman și de matematicianul rus Andrei Kolmogorov .

Să presupunem că { f i } este o secvență de variabile aleatorii, adică un proces stochastic. Este

{\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}

densitatea distribuției comune a variabilelor f 1 ... f n . Apoi se scrie ecuația Chapman - Kolmogorov

{\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n-1}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n-1}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) \, df_ {n}}

care nu este altceva decât calculul ultimei legi marginale .

Rețineți că nu trebuie să ne asumăm nicio ordine temporală a variabilelor aleatorii.

Aplicarea lanțurilor Markov

Când procesul stochastic considerat este markovian , ecuația Chapman-Kolmogorov devine o relație între legile de tranziție. În cadrul lanțurilor Markov, presupunem că i 1 <... < i n și, datorită proprietății Markov, avem

{\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) = p_ {i_ {1}} (f_ {1}) p_ {i_ { 2}; i_ {1}} (f_ {2} \ mid f_ {1}) \ cdots p_ {i_ {n}; i_ {n-1}} (f_ {n} \ mid f_ {n-1}) ,}

unde probabilitățile condiționale sunt probabilitățile de tranziție între timpuri . Astfel, ecuația Chapman - Kolmogorov devine ${\ displaystyle p_ {i; j} (f_ {i} \ mid f_ {j})}$ ${\ displaystyle i> j}$

{\ displaystyle p_ {i_ {3}; i_ {1}} (f_ {3} \ mid f_ {1}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} p_ {i_ {3}; i_ {2}} (f_ {3} \ mid f_ {2}) p_ {i_ {2}; i_ {1}} (f_ {2} \ mid f_ {1}) \, df_ {2}.}

Când legea probabilității spațiului de stare al lanțului Markov este discretă și lanțul este omogen, ecuația Chapman-Kolmogorov poate fi exprimată în termenii produsului matricilor (posibil de dimensiune infinită), în felul următor:

{\ displaystyle P (t + s) = P (t) P (s) \,}

unde P ( t ) este matricea de tranziție, adică, dacă X t este starea procesului la momentul t , atunci pentru orice pereche de puncte i și j din spațiul de stare, avem

{\ displaystyle P_ {ij} (t) = P (X_ {t} = j \ mid X_ {0} = i). \,}

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Ecuația Chapman - Kolmogorov ” (a se vedea lista autorilor ) .

Articole similare

Ecuația Fokker-Planck (ecuația Kolmogorov înainte)
Ecuația Kolmogorov înapoi
Lanțul Markov
Ecuația generală (fizică)
Wolfgang Döblin