Ecuația diferenței Q

În matematică, ecuațiile diferenței q formează o familie de ecuații funcționale al căror studiu este legat de cel al ecuațiilor diferențiale .

Într-o ecuație a diferenței q, parametrul q este un număr complex al cărui modul este, în general, presupus a fi diferit de 1 (unii autori care necesită ca acest modul să fie strict mai mare decât 1, alții să fie strict mai mic decât 1). Pe un spațiu complex de funcții variabile, operatorul diferenței q este definit de:

{\ displaystyle \ sigma _ {q} (f) (z) = f (qz).}

Acesta joacă un rol analog cu cel al operatorului derivat în ecuațiile diferențiale. Astfel, o funcție care îndeplinește ecuația:

{\ displaystyle \ sigma _ {q} (f) = f,}

că putem rescrie în formă

{\ displaystyle \ delta _ {q} (f) = 0,}

prin pozare , va juca rolul unei funcții constante : funcțiile care verifică această ecuație, în câmpul funcțiilor meromorfe de pe , se identifică cu câmpul funcțiilor meromorfe de pe curba eliptică , deci cu un câmp de funcții eliptice . Se va spune că o ecuație (sau un sistem) este liniară dacă are forma: ${\ displaystyle \ delta _ {q} (f) = {\ frac {\ sigma _ {q} (f) -f} {q-1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {*} / q ^ {\ mathbf {Z}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {q} (f) (z) = A (z) f (z),}

unde f este aici un vector de funcții, iar A o matrice.

Deoarece operatorul diferenței q are doar două puncte fixe pe sfera Riemann (0 și $\infty$ ), studiul local al soluțiilor se face numai în vecinătatea acestor două puncte.

Studiul ecuațiilor diferenței q se face de-a lungul mai multor axe, similar cu anumite axe pentru studiul ecuațiilor diferențiale:

studiul ecuațiilor liniare: încercăm să reducem o ecuație liniară la o ecuație cu coeficienți constanți , cu B o matrice inversabilă cu coeficienți complecși. Acest lucru este posibil prin transformări de ecartament și în condiții tehnice cu privire la coeficienții ecuației inițiale. Prin descompunerea matricei B prin algebră liniară, vom reduce apoi rezoluția unui astfel de sistem la rezoluția ecuațiilor caracterelor, pentru complexul c : ${\ displaystyle \ sigma _ {q} (f) (z) = A (z) f (z)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {q} (f) (z) = Bf (z)}$

{\ displaystyle \ sigma _ {q} (f) = cf,}

a cărei soluție joacă un rol analog funcției de caracter în teoria diferențială; și o ecuație a logaritmului: ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {c}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {q} (f) = f + 1.}

Aceste ecuații sunt rezolvate folosind funcția theta a lui Jacobi .

Bibliografie

L Di Vizio, JP Ramis, J. Sauloy, C. Zhang, Equations aux q-difference , publicat în La Gazette des mathématiciens , n o 96, 2003.