Ecuație diferențială parabolică parabolică

În matematică , o ecuație diferențială parțială liniară de ordinul doi, a cărei formă generală este dată de:

{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {a_ {ij} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {b_ {i} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}}} + c (\ mathbf {x}) f = h (\ mathbf {x}), \ \ \ \ mathbf {x} \ în U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}

se spune că este parabolică la un punct dat $x$ al U deschis dacă matricea pătrată simetrică a coeficienților de ordinul doi admite n –1 valori proprii diferite de zero și cu același semn și o valoare proprie zero, vectorul propriu asociat cu acesta din urmă, denotat , fiind astfel încât , denotând vectorul de n coeficienți de ordinul întâi. ${\ displaystyle A (\ mathbf {x}) = \ left (a_ {ij} \ right) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {b} (\ mathbf {x}) \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x})}$

Exemplu

Un exemplu clasic de ecuație diferențială parabolică este ecuația căldurii :

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - D \ Delta T + {\ frac {S} {\ rho C_ {P}}} = 0}

unde $D$ este difuzivitatea termică și $C P$ căldura specifică la presiune constantă, S denotă un termen sursă de producere a căldurii, $T = T ( t , r )$ , temperatura la punctul $r$ în spațiu și la timp $t$ .

Într-adevăr, în acest caz matricea A este dată de și, prin urmare, admite o valoare proprie zero și alte trei egale cu - D și, prin urmare, cu același semn. În plus, vectorul propriu asociat cu valoarea proprie nulă, adică $(1,0,0,0)$ nu este clar ortogonal cu vectorul . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -D & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -D & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -D \ end {pmatrix }}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} = (1,0,0,0)}$

Note și referințe

H. Reinhard, 2004
Dacă această ultimă condiție nu este verificată, ecuația va degenera.

Bibliografie

H. Reinhard, Ecuații diferențiale parțiale, introducere , Paris, Universitatea Dunod, col. "Științe Sup" ( repr. 2004) ( 1 st ed. 1991), 291 p. , broșat ( ISBN 978-2100484225 ).
Maurice Gevrey, Despre ecuațiile diferențiale parțiale de tip parabolic , Gauthier-Villars, 1913

Vezi și tu