Ecuația diferenței

În matematică , o ecuație de diferență este analogul unei ecuații diferențiale , în care derivatele sunt înlocuite de operatori de diferență finită .

Funcțiile unei variabile

Utilizarea operatorului:

{\ displaystyle \ Delta: a_ {n} \ mapsto a_ {n + 1} -a_ {n}}

și puterile sale:

{\ displaystyle \ Delta ^ {2}: a_ {n} \ mapsto a_ {n + 2} -2 \, a_ {n + 1} + a_ {n}}

, etc. ,

derivatele ca și sunt înlocuite cu și , unde în general luăm constantă (notată simplu ). ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta T_ {n}} {\ Delta t_ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta ^ {2} T_ {n}} {(\ Delta t_ {n}) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ Delta t_ {n}}$ $\ Delta t$

Funcțiile mai multor variabile

În mod similar, o ecuație diferențială parțială, cum ar fi:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} = \ kappa {\ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial x ^ {2}}}}

referitoare la funcția necunoscută , este înlocuită de ecuația diferenței: $Txt)$

{\ displaystyle {\ frac {T_ {m, n + 1} -T_ {m, n}} {\ Delta t}} = \ kappa {\ frac {T_ {m + 2, n} -2 \, T_ { m + 1, n} + T_ {m, n}} {(\ Delta x) ^ {2}}}}

care privește elementele unei secvențe duble (în spațiu și în timp). ${\ displaystyle T_ {m, n}}$

Bibliografie

(ro) Paul M. Batchelder , O introducere la ecuațiile diferențelor liniare , Dover Publications ,1967( 1 st ed. 1927)
(ro) Kenneth S. Miller , Ecuații de diferență liniară , WA Benjamin,1968