Legea compoziției

În matematică , mai precis în algebra generală , având în vedere două seturi E și F , o lege compoziție (sau pur și simplu , drept ) pe E este fie o hartă de F × E în E , sau o hartă de E × F în E . Cu alte cuvinte, este o operație binară pentru care mulțimea E este stabilă .

Există două tipuri de drept al compoziției:

dacă F = E, vorbim de o lege de compoziție internă ;
dacă F ≠ E, vorbim despre o lege externă a compoziției .

În practică, mulți autori folosesc „legea compoziției” ca sinonim pentru „legea compoziției interne” (de ex. Bourbaki și Lang).

Legile interne și externe ale compoziției sunt utilizate pentru a defini structurile algebrice , care ocupă un loc privilegiat în algebra generală .

Definiție detaliată

O lege a compoziției * : E × F → G , cu G = E sau G = F , este o hartă de la E × F la G care se asociază cu fiecare pereche ( x , y ) a lui E × F , un element al lui G notat de obicei „ x * y ” (în loc de notația funcțională „* ( x , y )”) și numit compus din x și y , sau produsul lui x și y .

x și y sunt uneori calificate drept operanzi , deoarece o lege nu este altceva decât o funcție binară , deci un caz particular de operație (adică a unei funcții n-ari).

G trebuie să fie egală cu E sau F . Mai precis :

dacă E = F = G , legea *: E × E → E se numește legea compoziției interne în E ;
dacă E ≠ F și G = F , legea *: E × F → F se numește legea compoziției externe din stânga pe F sau legea compoziției externe și E este atunci domeniul operatorilor ;
în cazul în care E ≠ F și G = E , Legea *: E × F → E se numește legea dreptului compoziției externe pe E domeniul F .

Legile compoziției interne

rezumat

Legile de compoziție internă (denumite uneori „legi interne“) sunt aplicații de E × E → E . Ele sunt folosite pentru a defini structurile algebrice studiate în algebra generală : grupuri , inele , câmpuri etc.

O lege internă a compoziției poate avea diferite proprietăți: comutativitate , asociativitate etc.

Exemple de legi compozitive comutative interne

plus în , , , sau $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
de multiplicare în , , , sau . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
orice lege a unui grup abelian
orice lege aditivă a unui inel
orice lege aditivă a unui câmp
orice lege aditivă a unui spațiu vectorial
orice lege multiplicativă a unui inel comutativ
orice lege multiplicativă a unui câmp comutativ

Alte exemple de legi de compoziție internă

scădere în , , sau $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
diviziune în , sau ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {C}} ^ {*}$
multiplicare matrice
a funcțiilor de compoziție
orice lege a unui grup
orice lege multiplicativă a unui inel
orice lege multiplicativă a unui corp

Legile externe ale compoziției

rezumat

Legile de compoziție externă (numite uneori „legi externe“) sunt aplicații F × E → E . De asemenea, ele servesc la definirea structurilor algebrice studiate în algebra generală .

Dar, spre deosebire de o lege de compoziție internă, o lege de compoziție externă implică elemente din exterior, numite operatori sau scalari . Prin urmare , o lege externă compoziție poate fi văzută ca o operațiune de F pe E . Spunem apoi că „ F operează pe E ”.

Exemple de legi de compunere externe

Exponentiation număr întreg de numere reale este o lege de in . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {R}$
Pentru K - spațiu vectorial E , multiplicarea unui vector cu un scalar este o lege de K × E în E .

Notări

Există mai multe notații pentru legile compoziției:

cea mai comună este notația infixă ; necesită utilizarea parantezelor pentru a specifica ordinea de execuție a operațiilor, dacă există mai multe:

{\ displaystyle x * y}

simbolul legii este uneori omis, înmulțirea este de exemplu adesea notată prin simpla juxtapunere:

{\ displaystyle xy}

prefixul sau notația poloneză nu are nevoie de paranteze:

{\ displaystyle * xy}

, uneori

{\ displaystyle * x, y}

notația de sufix , sau poloneza inversă , renunță și la paranteze:

{\ displaystyle xy *}

, uneori

{\ displaystyle x, y *}

Vezi și tu

Note

cf. Bourbaki p. A I.1
cf. Lang p. 3.

Referințe

N. Bourbaki , Elemente de matematică , vol. II: Algebră, capitolele 1-3 , Berlin, Springer,1970( Repr. 2007), ed. A 2- a . ( ISBN 978-3-540-33849-9 , prezentare online ).
(ro) Serge Lang , Algebra , New York / Berlin / Heidelberg etc., Springer, col. "Texte de licență în matematică",2002( Repr. 2010), 3 e ed. , 914 p. ( ISBN 0-387-95385-X , citit online ).