Transformarea Cayley

În matematică , transformarea lui Cayley , numită după Arthur Cayley , are mai multe semnificații conexe. Definiția originală este cea a unei aplicații între matricile antisimetrice și matricile de rotație . În analiza complexă , transformarea Cayley este o aplicație conformă care trimite semiplanul complex superior pe discul unității. În cele din urmă, în teoria spațiilor Hilbert , este o aplicație între operatori liniari .

Motivație

Transformarea Möbius este o involuție a (sau a sferei Riemann, adăugând valorile și ); putem lua în considerare generalizarea acestuia la un inel unitar A, deoarece dacă este inversabil, inversul său se deplasează cu , deci cu ; cazul matricilor se dovedește a avea o semnificație geometrică importantă. ${\ displaystyle t: x \ mapsto {\ frac {1-x} {1 + x}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} - \ {- 1 \}}$ ${\ displaystyle t (-1) = \ infty}$ ${\ displaystyle t (\ infty) = - 1}$ ${\ displaystyle b = i_ {A} + a}$ $b$ ${\ displaystyle 2i_ {A} -b = i_ {A} -a}$

Transformarea matricei

Dacă A este un n × n matrice pătratică (cu reale sau complexe coeficienți ) astfel încât I + A este inversabil (unde I reprezintă matricea identității ordinii n ) - cu alte cuvinte: astfel încât -1 nu este o valoare proprie a A - apoi matricea

{\ displaystyle A ^ {c}: = {\ frac {IA} {I + A}}}

adică A c = ( I - A ) ( I + A ) −1 , sau din nou A c = ( I + A ) −1 ( I - A ), verificați

{\ displaystyle (I + A ^ {c}) (I + A) = 2I}

Transformarea Cayley, M ↦ M c , este deci o involuție a setului de matrice M astfel încât I + M să fie inversabilă, adică

{\ displaystyle Q = A ^ {c} \ Leftrightarrow A = Q ^ {c}}

Dacă A este o matrice reală și antisimetrică (adică astfel încât A T = - A ), atunci I + A este inversabilă și Q : = A c este o matrice ortogonală a cărei -1 nu este o valoare proprie, care exclude matricile ortogonale cu determinant - 1 precum și unele matrice de rotație . În schimb, dacă Q este o matrice ortogonală care nu are -1 pentru valoarea proprie, atunci Q c este o matrice antisimetrică din care -1 nu este o valoare proprie.

Mai general, dacă A este o matrice complexă antihermitiană, atunci I + A este inversabilă și Q : = A c este o matrice unitară din care -1 nu este o valoare proprie și invers.

Uneori întâlnim o formă ușor diferită, care necesită două aplicații distincte și care nu utilizează notația „c” prin exponent:

{\ displaystyle Q = {\ frac {I + A} {IA}}, \ quad A = {\ frac {QI} {Q + I}}}

Exemple

Avem . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -a & ab-c \\ 0 & 0 & -b \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ leftrightarrow {\ begin {pmatrix} 1 & 2a & 2c \\ 0 & 1 & 2b \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$
În cazul 2 × 2, avem . Matricea de rotație la jumătate de tură, - I , este exclusă, chiar dacă este obținută ca limită atunci când tan θ ⁄ 2 tinde spre infinit. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & \ tan {\ frac {\ theta} {2}} \\ - \ tan {\ frac {\ theta} {2}} & 0 \ end {pmatrix}} \ leftrightarrow {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}$
În cazul 3 × 3, avem ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & z & -y \\ - z & 0 & x \\ y & -x & 0 \ end {pmatrix}} \ leftrightarrow {\ frac {1} {K}} { \ begin {pmatrix} w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} & 2 (xy-wz) & 2 (wy + xz) \\ 2 (xy + wz) & w ^ {2} -x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} & 2 (yz-wx) \\ 2 (xz-wy) & 2 (wx + yz) & w ^ { 2} -x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ {2} \ end {pmatrix}}}$ ,unde K = w 2 + x 2 + y 2 + z 2 și unde w = 1. Recunoaștem matricea de rotație corespunzătoare cuaternionului (formula publicată de Cayley în anul precedent), cu excepția faptului că este normalizată astfel încât w = 1 în locul condiției obișnuite w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1. Astfel, vectorul ( x , y , z ) este vectorul unitar al axei de rotație înmulțit cu tan θ ⁄ 2 . Rotațiile întoarcere sunt din nou excluse; în acest caz, este vorba despre matricile Q care sunt simetrice . ${\ displaystyle w + \ mathbf {i} x + \ mathbf {j} y + \ mathbf {k} z}$

Alte matrice

Când se trece de la matrici reale la matrici complexe, transpunerea este înlocuită de transconjugare (· H ). Aceasta înseamnă înlocuirea standardului de produs dot real cu produsul scalar complex . De fapt, se poate generaliza în continuare luând alte alegeri ale matricei adjuvante ; într - adevăr , definiția nu cere ca invertibilitate de I + M .

Cerere conformă

În analiza complexă , transformarea Cayley este o funcție a planului complex de pe sine, dată de: Este o funcție omografică , care poate fi extinsă într-un automorfism al sferei Riemann (planul complex a crescut cu un punct până la infinit). Se va remarca în special că ${\ displaystyle W \ colon z \ mapsto {\ frac {z- \ mathrm {i}} {z + \ mathrm {i}}}.}$

W este o implementare consecventă a deschis superior semiplanul de C , la unitatea de disc a fost deschisă de la C , . ${\ displaystyle \ lbrace z = x + \ mathrm {i} y \ mid y> 0 \ rbrace}$ $\ lbrace z \ mid | z | <1 \ rbrace$
W este o injecție a liniei reale în cercul unitar T (numere complexe de modul 1); imaginea lui R este T privată de 1.
W este o bijecție a jumătății liniei de imaginar i [0, ∞ [peste intervalul semi-deschis [−1, +1 [.
W trimite 0 peste −1, −1 la i , punctul la infinit la 1 și - i la punctul la infinit (W are un pol simplu la - i )
W lasă 1 ⁄ 2 (−1 + √3) (- 1 + i ) și 1 ⁄ 2 (1 + √3) (1 - i ) invariant .

Funcția reciprocă a transformării Cayley pot fi scrise ( în afară de punctele de la infinit) ca . ${\ displaystyle W ^ {- 1} \ colon z \ mapsto \ mathrm {i} {\ frac {1 + z} {1-z}}}$

Aplicarea între operatori

În dimensiune infinită, spațiile euclidiene sunt înlocuite de spațiile Hilbert și nu mai putem vorbi de matrici. Cu toate acestea, este încă posibil să generalizăm transformarea Cayley în operatori liniari :

{\ displaystyle {\ begin {align} U & {} = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1} \\ A & {} = \ mathbf {i } (I + U) (IU) ^ {- 1} \ end {align}}}

În cazul în care câmpul U , dom U este ( A + i I ) dom A . Articolul endomorfism autoadjunct oferă mai multe detalii.

Vezi și tu

Transformarea biliniară

Note

Ordinea factorilor nu contează. Intr - adevar, reciproca B : = I + A commutes cu B , prin urmare , cu 2 I - B = I - A .
Pentru construirea unui astfel de endomorfism utilizând transformata Cayley, consultați articolul din Wikipedia engleză (en) .

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Transformarea Cayley ” ( vezi lista autorilor ) .

Arthur Cayley , „ On some properties of left déterminants ”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik ( Crelle's Journal ) , vol. 32,1846, p. 119–123 ( ISSN 0075-4102 , citiți online )
(ro) Richard Courant și David Hilbert , Methods of Mathematical Physics , vol. 1, New York, Wiley-Interscience,1989( ISBN 978-0-471-50447-4 )
(ro) Gene H. Golub și Charles F. Van Loan , Matrix Computations , Baltimore, Johns Hopkins University Press,1996( ISBN 978-0-8018-5414-9 )
(ro) NK Nikol'skii , Enciclopedia Matematicii , Springer-Verlag ,2001( ISBN 978-1-4020-0609-8 )