Kepler-Poinsot solid

Solid Kepler-Poinsot sunt jucat poliedre regulate . Fiecare are fețe care sunt poligoane convexe izometrice regulate sau poligoane stelare și are același număr de fețe care se întâlnesc la fiecare vârf (comparativ cu solidele platonice ).

Există patru solide Kepler-Poinsot  :

Geometrie

Numele de familie Imagine Simbolul
Schläfli
{p, q} 		Fețe
{p} 		Margini Summit-uri
{Q}
figsom. 		χ Simetrie Dual
Dodecaedru cu stea mică Dodecaedru mic stelat.png {5 / 2.5} 12
{5/2}
Pentagram.svg 		30 12
{5}
Pentagon.svg 		-6 Eu h Dodecaedru mare
Mare dodecaedru stelat Mare dodecaedru stelat.png {5 / 2.3} 12
{5/2}
Pentagram.svg 		30 20
{3}
Triangle.Equilateral.svg 		2 Eu h Icosaedru mare
Dodecaedru mare Mare dodecaedru.png {5.5 / 2} 12
{5}
Pentagon.svg 		30 12
{5/2}
Pentagram.svg 		-6 Eu h Dodecaedru cu stea mică
Icosaedru mare Mare icosahedron.png {3.5 / 2} 20
{3}
Triangle.Equilateral.svg 		30 12
{5/2}
Pentagram.svg 		2 Eu h Mare dodecaedru stelat

Dodecaedrul stelar mic și cel mare au fețe sub formă de pentagrame neconvexe regulate . Marele dodecaedru și marele icosaedru au fețe sub formă de pentagone convexe , dar au figuri de vârfuri sub formă de pentagrame. Prima pereche și a doua sunt duale între ele.

Aceste figuri pot fi înșelătoare, deoarece includ pentagrame ca fețe și figuri ale vârfurilor. Fețele și vârfurile pot fi presupuse în mod eronat unde se intersectează fețele, dar nu sunt numărate.

Dacă intersecțiile sunt numărate ca niște muchii noi și noi înălțimi, ele nu vor fi regulate, dar pot fi luate în considerare în stelații (a se vedea lista modelelor poliedrului Wenninger  (ro) ).

Istorie

Un mic dodecaedru stelar apare într-un mozaic de podea din Bazilica San Marco din Veneția , Italia . Datează din secolul  al XV- lea și este uneori atribuită lui Paolo Uccello .

În cartea sa Perspectiva corporum regularium (Outlook solid regulat), o carte de gravuri din lemn publicată în secolul  al XVI- lea, Wenzel Jamnitzer descrie marele dodecaedru. Din aranjamentul general al cărții este clar că el consideră că cele cinci solide ale lui Platon sunt regulate, fără a înțelege natura regulată a marelui său dodecaedru. De asemenea, înfățișează o figură confundată adesea cu marele dodecaedru stelar, deși suprafețele triunghiulare ale brațelor nu sunt chiar coplanare, are 60 de fețe triunghiulare.

Solid Kepler au fost descoperite de către Johannes Kepler în 1619 . Le-a obținut prin stelarea dodecaedrului convex regulat, mai întâi tratându-l ca o suprafață mai degrabă decât ca un solid. El a remarcat că, extinzând marginile sau fețele dodecaedrului convex până când s-au întâlnit din nou, el putea obține pentagone stelare. Mai mult, el a recunoscut că aceste pentagone stelare erau, de asemenea, regulate. A găsit în acest fel două dodecaedre înstelate, cel mic și cel mare. Fiecare are regiunea convexă centrală a fiecărei părți „ascunsă” cu interiorul, cu doar brațul triunghiular vizibil. Pasul final al lui Kepler a fost să recunoască faptul că aceste poliedre au coincis cu definiția solidelor regulate, chiar dacă nu erau convexe , la fel ca solidele tradiționale platonice .

În 1809 , Louis Poinsot a redescoperit aceste două figuri. De asemenea, el a luat în considerare vârfurile stelelor, precum și fețele stelelor, și astfel a descoperit încă două stele regulate, icosaedrul mare și dodecaedrul mare. Unii oameni numesc aceste solide Poinsot . Poinsot nu știa dacă descoperise toate poliedrele stelare obișnuite.

Trei ani mai târziu, Augustin Cauchy a demonstrat că lista a fost completă, și aproape o jumătate de secol mai târziu , Bertrand oferă o demonstrație mai elegant , prin fatetarea de solide platonice .

Solidele Kepler-Poinsot au primit numele lor în anul următor, în 1859 , de Arthur Cayley .

Caracteristica lui Euler

Un solid Kepler-Poinsot își acoperă sfera circumscrisă de mai multe ori. Din această cauză, ele nu sunt neapărat echivalente topologic cu sfera la fel ca și solidele platonice și, în special, caracteristica Euler

S - A + F = 2

nu este întotdeauna valabil.

Valoarea caracteristicii Euler χ depinde de forma poliedrului. Să luăm de exemplu micul dodecaedru stelat [1] . Se compune dintr-un dodecaedru regulat cu o piramidă pentagonală pe fiecare dintre cele douăsprezece fețe ale sale. Fiecare dintre cele douăsprezece fețe este o pentagramă cu partea pentagonală ascunsă în solid. Partea exterioară a fiecărei fețe este formată din cinci triunghiuri care se ating doar în cinci puncte. Alternativ, am putea număra aceste triunghiuri ca fețe separate - sunt 60 dintre ele (dar ele sunt doar triunghiuri isoscele, nu poligoane regulate). În mod similar, fiecare margine ar fi acum împărțită în trei margini (dar apoi, acestea sunt de două feluri). „Cele cinci puncte” tocmai menționate împreună formează cele 20 de vârfuri suplimentare, deci avem în total 32 de vârfuri (de fel, din nou). Pentagonele interne ascunse nu sunt necesare pentru a forma suprafața poliedrului și pot dispărea. Acum, relația lui Euler este valabilă: 60 - 90 + 32 = 2. Cu toate acestea, acest poliedru nu este cel descris de simbolul Schläfli {5 / 2.5} și, prin urmare, nu poate fi un solid al lui Kepler-Poinsot, chiar dacă încă arată ca la exterior.

Anecdote

Note și referințe

  1. (De) Bilder von Wentzel Jamnitzer aus der Perspectiva Corporum Regularium

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe