Unda monocromatică
O undă monocromatică sau undă armonică este o undă care poate fi descrisă printr-o funcție sinusoidală a timpului. Densitatea sa de energie spectrală are o singură frecvență , o singură lungime de undă . Vorbim și despre o undă sinusoidală și, dacă este o undă electromagnetică , despre o undă monoenergetică .
Studiul undelor sinusoidale are o mare importanță în diferitele domenii de studiu ale undelor și propagarea acestora datorită simplității abordării matematice și deoarece orice undă poate fi descompusă într-o sumă de unde sinusoidale.prin analiza armonică .
Termenul monocromatic provine din domeniul opticii: în cazul radiației electromagnetice monocromatice în intervalul vizibil, vorbim de culoare pură. Termenul de armonic provine din domeniul acusticii : în cazul unei unde de presiune acustică sinusoidală, vorbim de un sunet pur; un sunet periodic se caracterizează prin armonicile sale . Prin extensie, acești termeni sunt utilizați și în domeniile electricității și mecanicii.
În practică, nu există o undă perfect monocromatică, doar pentru că nici o sursă nu emite vreodată permanent: există întotdeauna o dispersie în jurul frecvenței sau a lungimii de undă. Deci, în cel mai bun caz putem măsura, produce, folosi unde cvasi-monocromatice: spectrele lor ocupă doar o bandă de frecvență foarte îngustă ( Dic. Phys. ).
Modelare analitică
Vibrația sinusoidală
O vibrație armonică este variația unei mărimi fizice în jurul valorii medii în urma unei funcții sinusoidale a timpului. Această noțiune este potrivită în special pentru studiul oscilatoarelor mecanice (pentru care nu există propagare) și a circuitelor electrice (pentru care propagarea este considerată instantanee, ținând cont de dimensiunile circuitului și de frecvențele implicate). Putem scrie :
ψ{\ displaystyle \ psi}
ψ(t)=LA⋅cos(ωt+ϕ){\ displaystyle \ psi (t) = A \ cdot \ cos (\ omega t + \ phi)}.
-
LA{\ displaystyle A}este amplitudinea și corespunde valorii maxime luate de ,ψ{\ displaystyle \ psi}
-
ω{\ displaystyle \ omega}este pulsația în radiani pe secundă ( rad s -1 ),
-
ϕ{\ displaystyle \ phi}este întârzierea fazei în radiani .
Pulsul este legat de frecvența sau perioada de timp de .
f{\ displaystyle f}T{\ displaystyle T}ω=2πf=2πT{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f = {\ frac {2 \ pi} {T}}}
Reprezentarea complexă, cunoscută și sub numele de reprezentare analitică, poate simplifica adesea calculele. Conform convențiilor utilizate, observăm:
- fie ,ψ_(t)=LA⋅ej(ωt+ϕ)=LA⋅ejϕ⋅ejωt{\ displaystyle {\ underline {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j (\ omega t + \ phi)} = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ omega t}}
- fie .ψ_(t)=LA⋅e-j(ωt+ϕ)=LA⋅e-jϕ⋅e-jωt{\ displaystyle {\ underline {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j (\ omega t + \ phi)} = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j \ phi} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j \ omega t}}
În toate cazurile: .
ψ(t)=Re(ψ_(t)){\ displaystyle \ psi (t) = \ mathrm {Re} ({\ underline {\ psi}} (t))}
Unda sinusoidală călătoare
În cazul unei unde sinusoidale progresive, vibrația se propagă cu viteză , putem scrie:
vs.{\ displaystyle c}
ψ(r→,t)=LA(r→)⋅cos(ωt-k→⋅r→+φ){\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = A ({\ vec {r}}) \ cdot \ cos (\ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r }} + \ varphi)}.
-
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} este vectorul de poziție al punctului studiat.
- Amplitudinea depinde de poziția datorată atenuării, directivității sursei etc.LA(r→){\ displaystyle A ({\ vec {r}})}
-
φ{\ displaystyle \ varphi}este faza la origine (pentru și zero).t{\ displaystyle t}X{\ displaystyle x}
- Vectorul este vectorul de undă . Norma sa se numește număr de undă și se exprimă în rad m -1 ; este legată de lungimea de undă (perioada spațială) de .k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}k{\ displaystyle k}k=‖k→‖=2πλ{\ displaystyle k = \ | {\ vec {k}} \ | = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}
Viteza (viteza de propagare) a undei face posibilă legarea între ele a mărimilor temporale și spațiale:
vs.=λT=ωk{\ displaystyle c = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}.
Unda staționară sinusoidală
O undă staționară armonică este consecința interferenței a cel puțin două unde călătoare armonice. Este o vibrație armonică specială. Acest tip de fenomen este studiat în special în mecanică, acustică sau în domeniul transmisiilor.
Cel mai simplu exemplu de propagare a două unde plane în direcția opusă:
ψ1(X,t)=LAcos(ωt-kX){\ displaystyle \ psi _ {1} (x, t) = A \ cos (\ omega t-kx)}
ψ2(X,t)=LAcos(ωt+kX){\ displaystyle \ psi _ {2} (x, t) = A \ cos (\ omega t + kx)}
ψ(X,t)=ψ1(X,t)+ψ2(X,t)=2LA⋅cos(ωt)⋅cos(kX){\ displaystyle \ psi (x, t) = \ psi _ {1} (x, t) + \ psi _ {2} (x, t) = 2A \ cdot \ cos {(\ omega t)} \ cdot \ cos (kx)}
Cantitatea fizică vibrează sinusoidal în fiecare punct al pulsației . Amplitudinea sa depinde de poziția sa: se formează noduri și burți.
ω{\ displaystyle \ omega}
Vibrația cvasi-sinusoidală
Se poate considera o vibrație sau o undă ca fiind cvasi-sinusoidală dacă densitatea sa spectrală de putere ocupă o bandă foarte îngustă de frecvențe.
Exemplu de semnal sinusoidal trunchiat:
{ψ_(t)=LA⋅ejϕ0⋅ej.2π.f0.t dacă t∈[0;τ]ψ_(t)=0 dacă nu{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ underline {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. 2 \ pi .f_ {0} .t} \ {\ text {si}} \ t \ in \ left [0; \ tau \ right] \\ {\ underline {\ psi}} (t) = 0 \ { \ text {else}} \ end {cases}}}
Trebuie să-i determinăm transformata Fourier:
ψ^_(f)=∫-∞+∞ψ_(t)⋅e-j.2π.f.t⋅dt{\ displaystyle {\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ underline {\ psi}} (t) \ cdot \ mathrm {e } ^ {- j.2 \ pi .ft} \ cdot \ mathrm {d} t},
pentru a-i cunoaște densitatea de energie spectrală:
|ψ^_(f)|2=τ2⋅LA2⋅(păcat(π.(f-f0).τ)π.(f-f0).τ)2{\ displaystyle \ left | {\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) \ right | ^ {2} = \ tau ^ {2} \ cdot A ^ {2} \ cdot \ left ({\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ {0}). \ tau)} {\ pi. (f-f_ {0}). \ tau}} \ right) ^ {2}}
Putem considera vibrația ca fiind cvasi monocromatică dacă este vorba, fiind perioada semnalului sinusoidal, dacă1τ≪f0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} \ ll f_ {0}}T0{\ displaystyle T_ {0}}τ≫T0{\ displaystyle \ tau \ gg T_ {0}}
Demonstrație
ψ^_(f)=∫-∞+∞ψ_(t)⋅e-j.2π.f.t⋅dt =LA⋅ejϕ0⋅∫0τej.2π.f0.t⋅e-j.2π.f.t⋅dt =LA⋅ejϕ0⋅∫0τej.2π.(f0-f).t⋅dt =LA⋅ejϕ0⋅[ej.2π.(f0-f).tj.2π.(f0-f)]0τ =LA⋅ejϕ0⋅ej.2π.(f0-f).τ-1j.2π.(f0-f) =LA⋅ejϕ0⋅ej.π.(f0-f).τ⋅ej.π.(f0-f).τ-e-j.π.(f0-f).τj.2π.(f0-f) =LA⋅ejϕ0⋅ej.π.(f0-f).τ⋅2.j.păcat(π.(f0-f).τ)j.2π.(f0-f) =τ⋅LA⋅ejϕ0⋅ej.π.(f0-f).τ⋅păcat(π.(f0-f).τ)π.(f0-f).τ =τ⋅LA⋅păcat(π.(f-f0).τ)π.(f-f0).τ⋅ej.(π.(f0-f).τ+ϕ0){\ displaystyle {\ begin {align} {\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ underline {\ psi}} (t ) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j.2 \ pi .ft} \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ int _ {0} ^ {\ tau} \ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi .f_ {0} .t} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j.2 \ pi .ft } \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ int _ {0} ^ {\ tau} \ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi. (f_ {0} -f) .t} \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ left [{\ frac {\ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi. (f_ {0} -f) .t}} {j.2 \ pi. (f_ {0} -f)} } \ right] _ {0} ^ {\ tau} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {e} ^ {j .2 \ pi. (F_ {0} -f). \ Tau} -1} {j.2 \ pi. (F_ {0} -f)}} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ {0} -f). \ tau} \ cdot {\ frac {\ mathrm {e} ^ {j . \ pi. (f_ {0} -f). \ tau} - \ mathrm {e} ^ {- j. \ pi. (f_ {0} -f). \ tau}} {j.2 \ pi. (f_ {0} -f)}} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ { 0} -f). \ Tau} \ cdot {\ frac {2.j. \ sin (\ pi. (F_ {0} -f). \ Tau)} {j.2 \ pi. (F_ {0} -f )}} \\\ & = \ tau \ cdot A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ {0} - f). \ tau} \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi. (f_ {0} -f). \ tau)} {\ pi. (f_ {0} -f). \ tau}} \\ \ & = \ tau \ cdot A \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ {0}). \ tau)} {\ pi. (f-f_ {0}). \ tau}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ left (\ pi. \ left (f_ {0} -f \ right). \ tau + \ phi _ {0} \ right)} \ end {align}}}
|ψ^_(f)|=τ⋅LA⋅(păcat(π.(f-f0).τ)π.(f-f0).τ){\ displaystyle \ left | {\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) \ right | = \ tau \ cdot A \ cdot \ left ({\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ { 0}). \ Tau)} {\ pi. (F-f_ {0}). \ Tau}} \ right)}
larg(ψ^_(f))=π.(f0-f).τ+ϕ0{\ displaystyle \ mathrm {arg} \ left ({\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) \ right) = \ pi. \ left (f_ {0} -f \ right). \ tau + \ phi _ {0}}
Domenii de aplicare
Optic
Optica este preocupată de propagarea undelor electromagnetice . În acest context, o undă monocromatică desemnează o undă electromagnetică al cărei câmp electric și câmp magnetic variază în funcție de o funcție sinusoidală a timpului. Acest nume poate fi folosit la fel de bine pentru radiația domeniului vizibil ca a domeniilor invizibile, în special în infraroșu și ultraviolet .
În câmpul fotometriei și colorimetriei , care este limitată la partea vizibilă a spectrului electromagnetic, o culoare pură sau spectrală , este senzația produsă pe sistemul vizual uman de o undă electromagnetică monocromatică a domeniului vizibil. Culorile percepute sunt cele pe care le observăm în timpul dispersării luminii printr-o prismă sau o grătar de difracție într-o cameră întunecată , adică culorile curcubeului. Pentru a obține unde cvasi-monocromatice experimental, se folosește în general un monocromator .
Termenul monocromatic nu trebuie confundat cu cel de monocrom , care este un termen care înseamnă că o singură culoare și adesea mai larg un singur câmp de culoare este percepută pe o suprafață întreagă. Această culoare nu corespunde în general unei unde monocromatice.
Acustic
Undele acustice rezultă din variația presiunii sonore datorată unei surse. Sunetul pur este o variație sinusoidală a presiunii sonore în domeniul frecvențelor sonore.
Exemplu - Propagarea unui sunet pur emis de o sursă punct omnidirecțională:
În cazul unei unde sferice, fiind distanța până la sursă și presiunea efectivă a sunetului la 1 m de sursă, câmpul de presiune acustică este definit de:
r{\ displaystyle r}P(1 m){\ displaystyle P (1 \ \ mathrm {m})}
p(r,t)=P(1 m).2r⋅cos(ω.t-k.r+φ){\ displaystyle p (r, t) = {\ frac {P (1 \ \ mathrm {m}). {\ sqrt {2}}} {r}} \ cdot \ cos (\ omega .tk.r + \ varphi)}.
Anexe
Bibliografie
- Eugène Hecht , Optique , Paris, Pearson Education France,2005, A 4- a ed. , 724 p. ( ISBN 2-7440-7063-7 )
- José-Philippe Pérez , Optică. Fundații și aplicații , Paris, Dunod ,2004, A 7- a ed. [ detaliu ediții ] ( ISBN 2-10-048497-4 )
- Richard Taillet , Loïc Villain și Pascal Febvre , Dicționar de fizică , Bruxelles, De Boeck ,2013, p. 450 „monocromatic”
Articole similare
Note și referințe
-
Numai undele electromagnetice sunt caracterizate în mod egal de frecvență, lungime de undă sau energie fotonică.
-
Din greaca veche μόνος , monos , „doar“ și χρῶμα , Khroma , „culoare“.
-
Denumirea culorilor și limitele intervalelor de lungime de undă sunt preluate din standardul AFNOR X 08-010 „Clasificare metodică generală a culorilor” (anulat la 30 august 2014). Numele gamelor de culori care nu pot corespunde undelor monocromatice (linia purpurie) nu sunt date aici.
-
ecranul unui computer nu poate produce lumină monocromatică, cadrele colorate oferă o referință aproximativă. Tabelele funcționale colorimetrice CIE XYZ oferă poziția tricromatică a luminilor monocromatice. Acestea sunt (1) convertite în coordonate liniare (pozitive și negative) de matricea de conversie sRGB , (2) readuse la valori pozitive prin adăugarea cantității suficiente de lumină acromatică (gri cu luminozitate egală cu cea a culorii) , cu excepția cazului roșu-portocaliu (3) înmulțit component cu component cu un coeficient pentru a obține o luminozitate proporțională cu indicele de eficiență luminoasă spectrală și (4) convertită într-un cod neliniar conform prescripțiilor sRGB. Două culori au necesitat corecții, datorită caracteristicilor primarelor sRGB. Puritatea maximă a roșu-portocaliu, regiunea primarului roșu, este redusă datorită stării de lumină, ajungând la o valoare intermediară între culorile adiacente. Puritatea albastru-violet a fost redusă pentru a fi găsită ca cea a culorilor învecinate, pentru a nu părea mai colorată decât acestea.
-
José-Philippe Pérez 2005 , p. 214-216
-
Eugène Hecht 2005 , p. 16-18
-
Mario Rossi , Audio , Lausanne, Presses polytechniques et universitaire romandes,2007, 1 st ed. , 782 p. ( ISBN 978-2-88074-653-7 , citit online ) , p. 5-6
-
Robert Sève , Știința culorii: aspecte fizice și perceptive , Marsilia, Chalagam,2009, 374 p. ( ISBN 978-2-9519607-5-6 și 2-9519607-5-1 ) , p. 246-251
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">