Verso

În matematică , inversul unui element $x$ (dacă există) este elementul care, înmulțit cu $x$ , dă unul . O denotăm $x$ -1 sau . $\ scriptstyle {\ frac 1x}$

De exemplu, în , inversul lui este , din moment ce . $\ mathbb {R}$ $3$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0 {,} 333 \ dots}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ times 3 = 1}$

Definiție

Să fie un monoid , adică un set prevăzut cu o lege a compoziției interne asociative , pe care o denotăm , și un element neutru pentru notat . $S$ $\ ori$ $\ ori$ $1$

Se spune că un element este inversabil dacă există un element precum . $x \ în S$ ${\ displaystyle y \ in S}$ ${\ displaystyle x \ times y = y \ times x = 1}$

Telul , care este apoi unic, se numește inversul și este notat . $y$ $X$ $x ^ {{- 1}}$

În rezumat: reversul este numele dat elementului simetric , atunci când legea este notată în mod multiplicativ .

Principalele cazuri

Cel mai adesea, când vorbim de elemente inversabile, ne plasăm într-un grup sau într-un inel .

grup

Într-un grup , legea compoziției interne considerate este și prin definiție toate elementele sunt inversabile. $(G, \ ori)$ $\ ori$ $G$

Inel (sau corp)

Într-un inel , legea compoziției interne considerate este și toate elementele nu sunt neapărat inversabile. $(A, +, \ ori)$ $\ ori$

Elementele inversabile ale inelului formează un grup pentru multiplicarea inelului, numit grupul de inversibile ale acestui inel și adesea notate U ( A ) sau A × .

Un inel din care toate elementele sunt inversabile, în afară de neutrul legii (adesea menționat ), este prin definiție un câmp . $+$ ${\ displaystyle 0}$

Exemple

Inele și corpuri

În inelul de întregi relative , doar 1 și -1 au un invers: ei înșiși , respectiv. ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ times)}$
In domeniul de numere reale și în domeniul de raționale numere , inversul 2 este 1 / 2 = 0,5 și inversul 4 este de 0,25. Funcția inversă este aplicația care își asociază inversul cu orice real diferit de zero. ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +, \ times)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Q}, +, \ times)}$
In domeniul de numere complexe , inversul unității imaginar $i$ este $-I$ , deoarece $i x (-i) = 1$ . Mai general, inversul unui număr complex diferit de zero este numărul ${\ displaystyle (\ mathbb {C}, +, \ times)}$ ${\ displaystyle z = a + \ mathrm {i} b}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ bar {z}} {z {\ bar {z}}}} = {\ frac {\ bar {z}} {\ | z \ | ^ {2}}} = {\ frac {a-bi} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2} }} - {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} i}$
In domeniul de quaternions , inversa unei nenulă quaternion este quaternion , unde este quaternionic conjugat al $q$ , adică . Aveți grijă, înmulțirea cuaternionilor nu este comutativă. ${\ displaystyle (\ mathbb {H}, +, \ times)}$ ${\ displaystyle q = a + \ mathrm {i} b + \ mathrm {j} c + \ mathrm {k} d}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ | q \ | ^ {2}}} {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ | q \ | ^ {2}}} {\ bar {q}} = {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}}} \ times (a- \ mathrm {i} b- \ mathrm {j} c- \ mathrm {k} d)}$
În inel (ℤ / n ℤ, +, ×) , unde $n \geq 2$ , inversibilele sunt exact elemente precum GCD . În special, dacă $n$ este prim, atunci acest inel este un câmp. De exemplu, în inelul ℤ / 10ℤ, inversul lui 3 este 7 (deoarece 3 × 7 = 21 este congruent cu 1 modul 10), dar 2 nu are invers . ${\ displaystyle {\ overline {m}}}$ ${\ displaystyle (m, n) = 1}$
În inelul de reale pătrat matrici , unde $n$ este un fix natural, este notat multimea invertibles . De exemplu, în inelul de 2 × 2 matrici, matricea ${\ displaystyle (\ operatorname {M} _ {n} (\ mathbb {R}), +, \ times)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {R})}$ $A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}$ are pentru matrice inversă $B = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}$ deoarece A × B este egal cu matricea de identitate de ordinul 2.

Alte

În monoidul (pentru compoziția ) mapărilor unui set fixat în sine, mapările care au inversuri la stânga sunt injecții și cele care au inversuri la dreapta sunt surjecții . Este la fel în inelul de endomorphisms unui spațiu vectorial .

Observații

Aveți grijă, când $f$ este atât o funcție numerică cât și o bijecție , să nu confundați inversul ei cu bijecția sa reciprocă $f$ −1 :

{\ displaystyle (f (x)) ^ {- 1} \ neq f ^ {- 1} (x)}

Exemplu : . ${\ displaystyle \ cos: [0, \ pi] \ to [-1,1]}$ ${\ displaystyle (\ cos x) ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ cos x}}, \ quad \ cos ^ {- 1} (x) = \ arccos x}$

Sumă infinită de inversuri și proprietăți interesante

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ longrightarrow + \ infty}$ ( serie armonică ).

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} = 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + \ dots = \ ln (2)}$ ( serie armonică alternativă ).

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) ^ {2} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ { 2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ dots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$ , și mai general, funcția zeta Riemann , unde este valoarea absolută a numărului Bernoulli . ${\ displaystyle \ zeta (2m) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {k ^ {2m}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ { 2k}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2k}}} + \ cdots = {\ frac {| B_ {2m} | (2 \ pi) ^ {2m}} {2 (2m)!} }, m \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle | B_ {2m} |}$

Doar două numere complexe sunt opuse inversului lor (adică ): i și –i (deoarece sunt soluțiile lui ). ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = - x}$ $x ^ {2} = - 1$

Impartirea cu un număr b este echivalentă cu înmulțirea cu inversul b , . ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = a {\ frac {1} {b}} (b \ neq 0)}$