Compoziția funcțiilor
În matematică , compoziția funcțiilor (sau compoziția aplicațiilor ) este un proces care constă, din două funcții , în construirea uneia noi. Pentru a face acest lucru, folosim imaginile primei funcții ca argumente pentru a doua (cu condiția ca acest lucru să aibă sens). Vorbim apoi de o funcție compusă (sau de o hartă compusă ).
Definiție formală
Fie X , Y și Z orice trei seturi . Fie două funcții și . Definim compusul lui f cu g , notat cu
f:X→Da{\ displaystyle f: X \ to Y}g:Da→Z{\ displaystyle g: Y \ to Z}g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
∀X∈X, (g∘f)(X)=g(f(X)).{\ displaystyle \ forall x \ în X, \ (g \ circ f) (x) = g (f (x)).}Aici aplicăm f la argumentul x , apoi aplicăm g la rezultat.
Obținem astfel o nouă funcție .
g∘f:X→Z{\ displaystyle g \ circ f: X \ to Z}
Notația citește „ g rond f ”, „ f urmat de g ” sau „ g după f ”. Uneori notăm pentru .
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}g∘f(X){\ displaystyle g \ circ f (x)}(g∘f)(X){\ displaystyle (g \ circ f) (x)}
Exemplu de incompatibilitate de domeniu
Fie cele două funcții:
f:R→RX↦-Xetg:R+→RX↦X.{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & -x \ end {matrix}} \ quad {\ rm {și} } \ quad {\ begin {matrix} g: & \ mathbb {R} _ {+} & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & {\ sqrt {x}}. \ end {matrix }}}Aici, setul de sosire al lui f este . Acum setul inițial al lui g este (nu există un număr real al cărui pătrat să fie strict negativ). Strict sensu , prin urmare, funcția nu are niciun sens aici și doar una are una, unde f 1 este următoarea funcție, obținută prin restricție-corestricție a lui f :
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}g∘f{\ displaystyle g \ circ f}g∘f1:R-→R{\ displaystyle g \ circ f_ {1}: \ mathbb {R} _ {-} \ to \ mathbb {R}}
f1:R-→R+X↦-X{\ displaystyle {\ begin {matrix} f_ {1}: & \ mathbb {R} _ {-} & \ to & \ mathbb {R} _ {+} \\ & x & \ mapsto & -x \ end { matrice}}}
Proprietăți
Aici, nu ne preocupăm de problemele de compatibilitate a domeniilor funcțiilor luate în considerare.
- Compoziția funcțiilor nu este, în general, comutativă :g∘f≠f∘g.{\ displaystyle g \ circ f \ neq f \ circ g.}
- Compoziția funcțiilor este asociativă :h∘(g∘f)=(h∘g)∘f.{\ displaystyle h \ circ (g \ circ f) = (h \ circ g) \ circ f.}
- Compoziția funcțiilor nu este, în general, distributivă (pentru niciun operator ):⋆{\ displaystyle \ star}h∘(g⋆f)≠(h∘g)⋆(h∘f).{\ displaystyle h \ circ (g \ star f) \ neq (h \ circ g) \ star (h \ circ f).}
- Dacă funcția f este continuă la x 0 și funcția g este continuă la f ( x 0 ) atunci este continuă la x 0 .g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
- Compoziția a două funcții strict monotonice f și g (direcția variației respectă un fel de regulă a semnelor):
- dacă f și g au același sens de variație, compusul lor crește strict;
- dacă f și g au direcții de variație diferite, compusul lor scade strict.
-
Derivat dintr-o compoziție de funcții derivabile:(g∘f)′=(g′∘f)⋅f′.{\ displaystyle (g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ cdot f '.}Vezi articolul „ Derivarea funcțiilor compuse ”.
-
Reciprocul unui compus:(g∘f)-1=f-1∘g-1.{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}.}
Puteri funcționale
Păstrăm notațiile de mai sus. Dacă atunci poate fi compus cu el însuși și se notează compozitul . Asa de
Da=X{\ displaystyle Y = X}f{\ displaystyle f}f2{\ displaystyle f ^ {2}}
f2=f∘f{\ displaystyle f ^ {2} = f \ circ f}
f3=f∘f∘f{\ displaystyle f ^ {3} = f \ circ f \ circ f}
și mai general:
∀nu∈NU∗fnu=f∘...∘f⏟nu foeus{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad f ^ {n} = \ underbrace {f \ circ \ ldots \ circ f} _ {n \ \ mathrm {times}}}.
Noi pozăm
f0=idX{\ displaystyle f ^ {0} = \ operatorname {id} _ {X}}unde este aplicația de identitate a setului .
idX{\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X}}X{\ displaystyle X}
Se poate extinde această notație exponenții integrali negativi, furnizați pentru a-și asuma funcția bijectivă (a în sine). Apoi, denotați harta reciprocă și pentru orice număr întreg , este compusul în sine de n ori.
f{\ displaystyle f} X{\ displaystyle X}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}nu>0{\ displaystyle n> 0}f-nu{\ displaystyle f ^ {- n}}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}
Puterea unei funcții este distinctă de multiplicarea aplicațiilor. De exemplu, sin 2 denotă de obicei pătratul funcției sinus:
∀X∈Rpăcat2(X)=(păcat(X))2=păcat(X)×păcat(X){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ sin ^ {2} (x) = (\ sin (x)) ^ {2} = \ sin (x) \ times \ sin (x)}.
Există, de asemenea, o posibilă confuzie între inversul unei funcții pentru multiplicare și cartografierea reciprocă.
Se poate interesa și rădăcinile pătrate funcționale , adică se caută, pentru o funcție dată g , o funcție f care să satisfacă f ( f ( x )) = g ( x ) pentru toate x . Observăm apoi .
f1/2{\ displaystyle f ^ {1/2}}
Altă notație
În mijlocul XX - lea secol , unii matematicieni găsit notarea confuză și a decis să folosească o notație postfixată : xf pentru f ( x ) și xfg pentru .
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}(g∘f)(X){\ displaystyle (g \ circ f) (x)}
Tipografie
Caracterul Unicode „rotund”, „∘”, este caracterul U + 2218 . În LaTeX , acest caracter este obținut prin comandă \circ.
Surse
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">