Grup topologic

În matematică , un grup topologic este un grup prevăzut cu o topologie compatibilă cu structura grupului, adică astfel încât legea compoziției interne a grupului și trecerea în opus sunt două aplicații continue .

Prin urmare, studiul grupurilor topologice amestecă raționamentul algebrei și topologiei. Structura topologică a grupului este o noțiune esențială în topologia algebrică .

Definiție și proprietate caracteristică

Definiție - Un grup topologic este un grup cu o topologie pentru care aplicațiile $(Stea g)$

G ^ 2 \ to G, (x, y) \ mapsto x \ star y \ quad {\ rm și} \ quad G \ to G, x \ mapsto x ^ {- 1}

sunt continue ( pătratul cartezian $G 2$ fiind prevăzut cu topologia produsului ).

Cele două axiome ale definiției pot fi înlocuite cu una:

Teorema - Un grup cu topologie este un grup topologic dacă și numai dacă aplicația $(Stea g)$

G ^ 2 \ to G, (x, y) \ mapsto x \ star y ^ {- 1}

este continuu.

Un morfism de grup topologic este un morfism de grup continuu.

Haar măsură

Pe orice grup topologic compact local , există o singură măsură Borel cvasi-regulată diferită de zero (până la un coeficient de înmulțire) invariantă prin traducerile din stânga ( x ↦ y ∗ x ): măsura Haar .

Exemple de bază

Teorema - Orice subgrup al lui (ℝ, +) este fie dens, fie de forma a ℤ , pentru un unic a ≥ 0.

Cercul S 1 , care poate fi considerat ca grupul multiplicativ al numerelor complexe de modulul 1 sau ca grupul de rotații cu centru fix într - un plan euclidian . Orice subgrup al S 1 este fie finit sau dens.

Un grup discret (grup furnizat cu topologia discretă ).

Orice grup de produse (furnizat cu topologia produsului ) dintr-o familie de grupuri topologice. De exemplu ( spațiul Cantor , dotat cu structura sa naturală a grupului de produse). $(\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {N}}$

Unele proprietăți generale

Într-un grup topologic, traducerile $x \ longmapsto a \ star x \ quad {\ mathrm {and}} \ quad x \ longmapsto x \ star a$ sunt homeomorfisme.
Topologia este determinată de datele vecinătăților elementului neutru e .
Un grup topologic G este separat dacă și numai dacă singleton { e } este închis în G . De asemenea, G este separat dacă și numai dacă intersecția vecinătăților lui e este redusă la { e }.

Demonstrație

Dacă G este separat atunci este a fortiori un spațiu T1 , adică orice singleton este închis în G sau, care este echivalent, că intersecția vecinătăților oricărui punct este redusă la acest punct. Mai mult, întrucât traducerile sunt homeomorfisme, se poate înlocui, în aceste două condiții, „pentru orice punct” cu „pentru punctul e ”.
În schimb, dacă { e } este închis, atunci G este separat, deoarece diagonala lui G × G este închisă , ca o imagine reciprocă a lui { e } prin harta continuă care asociază tuturor ( x , y ) x . y −1 .

Dacă $U$ este una deschisă și $A$ orice parte, atunci $U * A$ este una deschisă (deoarece este scrisă ) și în același mod, $A$ $*$ $U$ este una deschisă. $\ cup_ {a \ în A} U \ star a$
Orice grup de coeficient G / H al unui grup topologic G de un subgrup normal H este încă un grup topologic, când G / H este dotat cu topologia de coeficient . Mai mult, G / H este separat dacă și numai dacă H este închis.
Un grup topologic este prevăzut în mod natural cu două structuri uniforme (în dreapta și în stânga) care îi induc topologia și care coincid dacă grupul este comutativ. Prin urmare, un grup topologic separat este complet regulat . Orice morfism al grupurilor topologice este uniform continuu pentru structurile uniforme asociate din dreapta (respectiv stânga).
Teorema Birkhoff - Kakutani : toate grupurile topologice separate, cu baza numărabilă a cartierelor, pot fi măsurate printr-o distanță invariantă sub traducerile din stânga. Mai general, orice grup topologic (nu neapărat separat) cu baze numărabile de vecinătăți poate fi pseudometrizat de un invariant pseudometric prin traduceri din stânga.

Grupuri liniare

De acum înainte vom omite semnul $*$ .

O clasă importantă de grupuri topologice este formată din subgrupurile grupului liniar $GL ( n , K )$ , cu K = ℝ sau ℂ. Acestea sunt prevăzute cu topologia indusă de cea a lui $End ( K n )$ .

Aceste exemple sunt exemple fundamentale de grupuri Lie reale sau complexe. Au în comun următoarea proprietate: există o deschidere care conține elementul neutru și care nu conține niciun subgrup non-trivial.

Topologie P-adică

Dacă este un grup abelian și dacă este o secvență de subgrupuri de astfel încât: $(G, +)$ $(G_ {n})$ $G$

G = G_ {0} \ supset G_ {1} \ supset G_ {2} \ supset \ ldots \ supset G_ {n} \ supset \ ldots

apoi secvența induce o topologie pe care vecinătățile lui sunt părțile care conțin una dintre mulțimi . $(G_ {n})$ $G$ $X$ $G$ $x + G_ {n}$

Dacă, în plus, intersecția lui este redusă la unde 0 este elementul neutru al , grupul este separat. $G_ {n}$ $\ {0 \}$ $G$

Un caz particular al unui grup topologic al acestei forme este grupul înzestrat cu topologia p-adică : dacă este un întreg natural, secvența este definită (în notație aditivă ) de . $p$ $(G_ {n})$ $G_ {n} = p ^ {n} G$

Distanța indusă

Putem defini o distanță pe înzestrată cu topologia indusă de dacă intersecția este într - adevăr reduce la : $(G, +)$ $(G_ {n})$ $G_ {n}$ $\ {0 \}$

d (x, y) = {\ frac 1 {2 ^ {k}}}

unde este primul număr întreg astfel încât și $k$ $xy \ notin G_ {k}$

d (x, y) = 0 ~

dacă pentru toate , aparține .

k

X y

G_k

Efectuat

Dacă este un grup abelian separat cu topologia determinată de următoarele , putem defini în cele secvențele Cauchy . O secvență este Cauchy dacă și numai dacă, pentru orice vecinătate de 0, există un număr întreg astfel încât $(G, +)$ $(G_ {n})$ $G$ $(x_ {n})$ $V$ $nu$

\ forall m \ geq n, \ x_ {m} -x_ {n} \ în V.

Pe acest set de secvențe Cauchy notate putem defini o relație de echivalență : $S_ {C} (G)$

(x_ {n}) R (y_ {n}) \ Longleftrightarrow \ lim (x_ {n} -y_ {n}) = 0.

Grupul coeficient este atunci un spațiu complet . Grupul este apoi izomorf într-un subgrup dens de . $S_ {C} (G)$ $G$ $S_ {C} (G)$

Cel mai important exemplu al unei astfel de construcții este cel al numerelor p-adice : realizăm această construcție din și din înmulțirea cu un număr prim . $\ mathbb {Z}$ $p$

Această construcție a completului este generalizată, în cadrul uniform , la orice grup topologic abelian separat.

Note și referințe

Pentru o demonstrație, a se vedea, de exemplu, acest exercițiu corectat din lecția de topologie de pe Wikiversitate .
Pentru o demonstrație, a se vedea de exemplu următorul exercițiu corectat din lecția de topologie de pe Wikiversitate .
N. Bourbaki , Elements of math, carte III: Topologie generală [ detaliu ediții ], p. 19-21 .
(în) Garrett Birkhoff , „ O notă asupra grupurilor topologice ” , Compositio Mathematica , vol. 3,1936, p. 427-430 ( citește online ).
(de) Shizuo Kakutani , „ Über die Metrisation der topologischen Gruppen ” , Proc. Imp. Acad. , vol. 12, n o 4,1936, p. 82-84 ( citește online ).
(în) Terence Tao , „ Teorema Birkhoff-Kakutani ” în 2011.
(în) Lawrence Narici și Edward Beckenstein, Topological Vector Spaces , CRC Press ,2010, A 2 -a ed. ( citiți online ) , p. 38.
Bourbaki , p. 26.

Vezi și tu

Articole similare

Componentă neutră (ro)
Grup compact
Reprezentarea unui grup topologic
Grupul Profini
Teorema Gelfand-Raikov (ro)

Bibliografie

Rached Mneimné și Frédéric Testard, Introducere în teoria grupurilor de minciuni clasice [ detaliu ediții ]
Jacques Lafontaine, Introducere în soiurile diferențiale [ detaliile edițiilor ], cap. 4
Roger Godement , Introducere în teoria grupurilor de minciuni , Springer, 2004 ( ISBN 978-3-540-20034-5 ) , cap. 1 și 2