Grupul de homotopie

În matematică și mai ales în topologia algebrică , grupurile de homotopie sunt invarianți care generalizează noțiunea de grup fundamental la dimensiuni superioare.

Definiție

Există mai multe definiții echivalente posibile.

Prima definiție

Să X un spațiu topologic și un punct de X . Să fie unitatea de minge de dimensiunea I a spațiului euclidian . Marginea sa este sfera unității de dimensiune .

I -lea Grupul omotopie superior este multimea claselor omotopie referitoare la cererile continue , cum ar fi: .

Un element al este, prin urmare, reprezentat de o funcție continuă de la i- ball la X , care trimite -sfera la punctul de referință , funcția fiind definită modulo homotopie relativ la .

A doua definiție

Prin identificarea marginii mingii într-un punct , obținem o sferă și fiecare element al este definit de clasele de homotopie ale hărților prin care se transformă punctul de bază al sferei . Se poate argumenta că componentele grupului sunt componentele conectate ale spațiului topologice aplicațiile pentru care le avem: .

Pentru a defini o operație pe clase de omotopie, este util să se identifice mingea cu cubul de dimensiuni i în ℝ i .

Definiția produsului este următoarea: Suma a două aplicații ale cubului este aplicația definită de formula:

și

Când mergem la clase de homotopie, legea compoziției obținute este asociativă , unificată , fiecare element admite un invers și legea este comutativă dacă i ≥ 2.

Prin urmare, definim un grup comutativ dacă i ≥ 2 (cf. Argumentul lui Eckmann-Hilton  (en) ).

Obținem grupul fundamental dacă i = 1.

Proprietăți și instrumente

Avem o generalizare a grupurilor de homotopie.

Să X un spațiu topologic, A ⊂ X și x un punct X .

Fie I r = [0, 1] r și J r = (∂ I r -1 × I ) ∪ ( I r -1 × {1}) = ∂ I r \ int ( I r -1 × {0}) .

R - lea al grupului omotopie relativă este setul de hărți continue omotopie clase , cum ar fi: , , , cu aceeași formă homotopies.

Fie p  : E → B o fibrare a fibrei F  ; dacă B este conectat prin arcuri, atunci avem o lungă secvență exactă de homotopie:

.

Pentru un spațiu topologic X , avem două familii de grupuri asociate cu X  : grupurile de omotopie (relative) notate și grupurile de omologie singulară (relativă) notate . Grupurile de omologie sunt mai ușor de calculat decât grupurile de homotopie și ne întrebăm despre legătura dintre aceste două familii de grupuri.

Avem un morfism natural de grup .

Dacă sunt conectate prin arcuri și dacă perechea (X, A) este n-1 -conectată pentru atunci:

Pentru n = 1, vezi „  Teorema lui Hurewicz  ”.

Teorema lui Whitehead pentru complexele CW (complexe celulare)

Teoremele periodicității lui Bott

Spații asferice, spații Eilenberg MacLane și teoria obstrucției

Se spune că un spațiu este asferic sau un K (π, 1) dacă grupurile sale homotopice sunt banale, cu excepția lui π 1 .

Metode de calcul

Spre deosebire de grupul fundamental ( i = 1) și grupurile de omologie și cohomologie , nu există o metodă simplă de calcul al grupurilor de homotopie imediat ce i ≥ 2 (lipsește un analog al teoremelor de excizie și Van-Kampen ).

Cazul grupurilor Lie

Grupul fundamental al unui grup Lie , sau mai general al unui spațiu H  (en) , este comutativ, iar acțiunea lui π 1 asupra lui π i este banală.

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">