Grupul de homotopie
În matematică și mai ales în topologia algebrică , grupurile de homotopie sunt invarianți care generalizează noțiunea de grup fundamental la dimensiuni superioare.
Definiție
Există mai multe definiții echivalente posibile.
Prima definiție
Să X un spațiu topologic și un punct de X . Să fie unitatea de minge de dimensiunea I a spațiului euclidian . Marginea sa este sfera unității de dimensiune .
X0{\ displaystyle x_ {0}}Beu{\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {i}}Reu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {i}} ∂Beu=Seu-1{\ displaystyle \ partial {\ mathcal {B}} ^ {i} = {\ mathcal {S}} ^ {i-1}}eu-1{\ displaystyle i-1}
I -lea Grupul omotopie superior este multimea claselor omotopie referitoare la cererile continue , cum ar fi: .
πeu(X,X0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, x_ {0})}Seu-1{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {i-1}}f:Beu→X{\ displaystyle f: {\ mathcal {B}} ^ {i} \ to X}f(Seu-1)={X0}{\ displaystyle f ({\ mathcal {S}} ^ {i-1}) = \ {x_ {0} \}}
Un element al este, prin urmare, reprezentat de o funcție continuă de la i- ball la X , care trimite -sfera la punctul de referință , funcția fiind definită modulo homotopie relativ la .
πeu(X,X0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, x_ {0})}(eu-1){\ displaystyle (i-1)}X0∈X{\ displaystyle x_ {0} \ în X}Seu-1{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {i-1}}
A doua definiție
Prin identificarea marginii mingii într-un punct , obținem o sferă și fiecare element al este definit de clasele de homotopie ale hărților prin care se transformă punctul de bază al sferei . Se poate argumenta că componentele grupului sunt componentele conectate ale spațiului topologice aplicațiile pentru care le avem: .
Beu{\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {i}}s0{\ displaystyle s_ {0}} Seu{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {i}}πeu(X,X0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, x_ {0})}Seu→X{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {i} \ to X}s0{\ displaystyle s_ {0}}X0{\ displaystyle x_ {0}} πeu(X,X0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, x_ {0})}Seu→X{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {i} \ to X}s0↦X0{\ displaystyle s_ {0} \ mapsto x_ {0}}
Pentru a defini o operație pe clase de omotopie, este util să se identifice mingea cu cubul de dimensiuni i în ℝ i .
Beu{\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {i}} Eueu=[0,1]eu{\ displaystyle \ mathbb {I} ^ {i} = [0,1] ^ {i}}
Definiția produsului este următoarea: Suma a două aplicații ale cubului este aplicația definită de formula:
f,g:(Eueu,Seu-1)→(M,X0){\ displaystyle f, g: (\ mathbb {I} ^ {i}, \ mathbb {S} ^ {i-1}) \ to (M, x_ {0})}f+g:(Eueu,Seu-1)→(M,X0){\ displaystyle f + g: (\ mathbb {I} ^ {i}, \ mathbb {S} ^ {i-1}) \ to (M, x_ {0})}
(f+g)(t1,t2,...,tnu)=f(2t1,t2,...,tnu) pentru t1∈[0,1/2]{\ displaystyle (f + g) (t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) = f (2t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) {\ text {for}} t_ {1} \ in \ left [0,1 / 2 \ right]}
și
(f+g)(t1,t2,...,tnu)=g(2t1-1,t2,...,tnu) pentru t1∈[1/2,1].{\ displaystyle (f + g) (t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) = g (2t_ {1} -1, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) {\ text {for}} t_ {1} \ in \ left [1 / 2,1 \ right].}
Când mergem la clase de homotopie, legea compoziției obținute este asociativă , unificată , fiecare element admite un invers și legea este comutativă dacă i ≥ 2.
Prin urmare, definim un grup comutativ dacă i ≥ 2 (cf. Argumentul lui Eckmann-Hilton (en) ).
Obținem grupul fundamental dacă i = 1.
Proprietăți și instrumente
Avem o generalizare a grupurilor de homotopie.
Să X un spațiu topologic, A ⊂ X și x un punct X .
Fie I r = [0, 1] r și J r = (∂ I r -1 × I ) ∪ ( I r -1 × {1}) = ∂ I r \ int ( I r -1 × {0}) .
R - lea al grupului omotopie relativă este setul de hărți continue omotopie clase , cum ar fi: , , , cu aceeași formă homotopies.
πr(X,LA,X){\ displaystyle \ pi _ {r} (X, A, x)}f:(Eur,∂Eur,Jr)→(X,LA,X){\ displaystyle f: (I ^ {r}, \ partial {I ^ {r}}, J ^ {r}) \ to (X, A, x)}f(Eur)⊂X{\ displaystyle f (I ^ {r}) \ subset X}f(∂Eur)⊂LA{\ displaystyle f (\ partial {I ^ {r}}) \ subset A}f(Jr)=X{\ displaystyle f (J ^ {r}) = x}
-
πr(X,X,X)=πr(X,X){\ displaystyle \ pi _ {r} (X, x, x) = \ pi _ {r} (X, x)} de aceea grupurile de homotopie sunt cazuri speciale de grupuri de homotopie relative.
- În ceea ce privește grupurile de homotopie, definim un grup comutativ dacă r > 2.
- Avem o secvență exactă lungă:⋯→πnu(LA,X)→eu∗πnu(X,X)→j∗πnu(X,LA,X)→dπnu-1(LA,X)→⋯{\ displaystyle \ cdots \ rightarrow \ pi _ {n} (A, x) {\ xrightarrow {i _ {*}}} \ pi _ {n} (X, x) {\ xrightarrow {j _ {*}} } \ pi _ {n} (X, A, x) {\ xrightarrow {d}} \ pi _ {n-1} (A, x) \ rightarrow \ cdots}unde i și j sunt incluziunile și d provine din restricția de la la .(Eur,∂Eur,Jr){\ displaystyle (I ^ {r}, \ partial {I ^ {r}}, J ^ {r})}Eur-1{\ displaystyle I ^ {r-1}}
Fie p : E → B o fibrare a fibrei F ; dacă B este conectat prin arcuri, atunci avem o lungă secvență exactă de homotopie:
⋯→πnu(F)→πnu(E)→πnu(B)→πnu-1(F)→⋯→π1(F)→π1(E)→π1(B)→π0(F){\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (F) \ to \ pi _ {n} (E) \ to \ pi _ {n} (B) \ to \ pi _ {n-1} (F ) \ to \ cdots \ to \ pi _ {1} (F) \ to \ pi _ {1} (E) \ to \ pi _ {1} (B) \ to \ pi _ {0} (F)}.
Pentru un spațiu topologic X , avem două familii de grupuri asociate cu X : grupurile de omotopie (relative) notate și grupurile de omologie singulară (relativă) notate . Grupurile de omologie sunt mai ușor de calculat decât grupurile de homotopie și ne întrebăm despre legătura dintre aceste două familii de grupuri.
πeu(X,LA,X0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, A, x_ {0})}Heu(X,LA){\ displaystyle H_ {i} (X, A)}
Avem un morfism natural de grup .
hnu:πnu(X,LA,∗)→Hnu(X,LA){\ displaystyle h_ {n}: \ pi _ {n} (X, A, *) \ to H_ {n} (X, A)}
Dacă sunt conectate prin arcuri și dacă perechea (X, A) este n-1 -conectată pentru atunci:
LA⊂X{\ displaystyle A \ subset X}nu≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
- în primul rând teorema relativă a lui Hurewicz afirmă că (i <n) și morfismul Hurewicz este un epimorfism al cărui nucleu este generat de elementele cu și ; în special, dacă , atunci este un izomorfism;Heu(X,LA)=0{\ displaystyle H_ {i} (X, A) = 0}ω(β)-β{\ displaystyle \ omega (\ beta) - \ beta}ω∈π1(LA,∗){\ displaystyle \ omega \ in \ pi _ {1} (A, *)}β∈πnu(X,LA,∗)=1{\ displaystyle \ beta \ in \ pi _ {n} (X, A, *) = 1}π1(LA,∗)=1{\ displaystyle \ pi _ {1} (A, *) = 1}hnu{\ displaystyle h_ {n}}
- pe de altă parte, teorema absolută a lui Hurewicz (A = *) afirmă că, dacă X este n-1- conectat ,, avem (i <n) și că morfismul Hurewicz este un izomorfism.nu≥2{\ displaystyle n \ geq 2}Heu(X,∗)=0{\ displaystyle H_ {i} (X, *) = 0}
Pentru n = 1, vezi „ Teorema lui Hurewicz ”.
Teorema lui Whitehead pentru complexele CW (complexe celulare)
Teoremele periodicității lui Bott
Spații asferice, spații Eilenberg MacLane și teoria obstrucției
Se spune că un spațiu este asferic sau un K (π, 1) dacă grupurile sale homotopice sunt banale, cu excepția lui π 1 .
Metode de calcul
Spre deosebire de grupul fundamental ( i = 1) și grupurile de omologie și cohomologie , nu există o metodă simplă de calcul al grupurilor de homotopie imediat ce i ≥ 2 (lipsește un analog al teoremelor de excizie și Van-Kampen ).
Cazul grupurilor Lie
Grupul fundamental al unui grup Lie , sau mai general al unui spațiu H (en) , este comutativ, iar acțiunea lui π 1 asupra lui π i este banală.
Vezi și tu
Articole similare
Bibliografie
-
Boris Doubrovine (de) , Anatoli Fomenko și Sergueï Novikov , Geometrie contemporană - Metode și aplicații ,1984[ detaliu ediții ], zbor. 2 și 3
-
Jean Dieudonné , Elemente de analiză , Jacques Gabay, vol. 9
- (în) Allen Hatcher , Algebraic Topology , New York, Cambridge University Press ,2001, 544 p. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , citit online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">