Cerc circumscris

În geometrie , un cerc circumscris unui poligon este un cerc care trece prin toate vârfurile poligonului. Se spune apoi că poligonul este înscris în cerc: vorbim despre un poligon care poate fi scris . Vârfurile sunt apoi cociclice , situate pe același cerc. Acest cerc este unic, iar centrul său este intersecția laturilor care mediază .

Cazuri speciale

Triunghi

Orice triunghi este scris.

Raza cercului

Considerăm un triunghi non-plat ABC , unde unghiurile sunt notate cu litere minuscule grecești și laturile opuse unghiurilor cu litere minuscule latine corespunzătoare:

a = BC și $α$ , unghiul format din [ AB ] și [ AC ];
b = AC și $β$ , unghiul format din [ BA ] și [ BC ];
c = BA și $γ$ , unghiul format din [ CA ] și [ CB ].

R este raza cercului circumscris.

Deci, conform legii sinelor , avem:

\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R.

Acest lucru face posibilă determinarea razei cercului circumscris:

R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{BC}{2\sin \widehat{BAC}}.

Triunghi dreptunghiular

Cercul circumscris unui triunghi dreptunghic are particularitatea de a admite ca ei diametrul ipotenuza acestui triunghi drept. Prin urmare, centrul cercului circumscris se află în mijlocul hipotenuzei. Raza sa este:

$R={{\text{hypotenuse}} \over 2}={{\sqrt {{\text{cote oppose}}^{2}+{\text{cote adjacent}}^{2}}} \over 2}.$

Orice triunghi înscris într-un cerc și a cărui latură cea mai lungă are diametrul acestui cerc este un triunghi dreptunghiular, conform teoremei lui Thales de pe cerc .

Notă: cu aceste notații, o ecuație barcentrică a cercului circumscris acestui triunghi este

a^{2}YZ+b^{2}ZX+c^{2}XY=0

.Triunghi tangențial

Pentru un triunghi ABC, cu un cerc circumscris (c), tangențele la (c) la A , B , C formează un triunghi T 1 T 2 T 3 numit tangențial al ABC.

Cele symédianes care unește vârfurile triunghiului la vârfurile triunghiului tangențial.
Sunt concurente și punctul lor de concurență este punctul Lemoine .

Patrulater

Un patrulater se poate scrie dacă și numai dacă două unghiuri opuse sunt egale sau suplimentare:

un patrulater încrucișat se poate scrie dacă, și numai dacă, două unghiuri opuse sunt egale.
un patrulater convex se poate scrie dacă și numai dacă sunt suplimentare două unghiuri opuse.

Teorema lui Ptolemeu : un patrulater convex se poate scrie dacă și numai dacă produsul lungimilor diagonalelor este egal cu suma produselor lungimilor laturilor opuse

Dreptunghi

Orice dreptunghi (și, prin urmare, orice pătrat ) are un cerc circumscris al cărui centru este la intersecția diagonalelor sale și a cărui rază este egală, ca și pentru triunghiul dreptunghiular:

R={{\sqrt {{\text{Longueur}}^{2}+{\text{largeur}}^{2}}} \over 2}\,

Pentru cazul pătratului, Lungimea = lățimea oferă:

R={{\sqrt {{\text{Longueur}}^{2}+{\text{Longueur}}^{2}}} \over 2}={\text{Longueur}}\cdot {{\sqrt {2}} \over 2}\,

Această proprietate derivă din cea a triunghiului, prin simetrie.

Diamant

Un romb care nu este un pătrat nu are un cerc circumscris.

Paralelogram

Un paralelogram care nu este un dreptunghi nu are un cerc circumscris.

Hexagon regulat

Regulat hexagonul este delimitat de un cerc cu raza de măsurare a lungimii unei laturi.

Această proprietate facilitează desenarea unui hexagon obișnuit cu o riglă și o busolă .

Bibliografie

Jean-Denis Eiden, Geometrie analitică clasică , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-916352-08-4 )
Mică enciclopedie de matematică , ed. Didier
Jean Fresnel, Metode moderne în geometrie
Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics , C&M ( ISBN 978-2-916352-12-1 )

Vezi și tu