Viteza zonei

Viteza zonei A doua dintre legile lui Kepler este că viteza zonei unei planete față de Soare este constantă. Date esentiale

Unități SI	metru pătrat pe secundă ( m 2 ⋅ s −1 )
Dimensiune	2 · T -1 $\,$ $\,$
Natură	Dimensiune Vector extins
Simbol obișnuit	${\ displaystyle {\ dot {A}}}$
Link către alte dimensiuni	${\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta A} {\ Delta t}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {A}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta A} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}}}$

Viteza zonei este o mărime care exprimă limita raportului creșterii infinitesimale a unei zone măturate de raza vectorială a unui obiect în mișcare peste o creștere infinitesimală în timp. Este prima derivată în ceea ce privește timpul zonei scanate de raza vectorială a unui telefon mobil. Este raportul dintre această zonă și timpul folosit. Este definit de:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} A (t)} {\ mathrm {d} t}}}

unde $A$ fiind aria sectorului scanat de raza vectorială $ρ$ , $θ$ fiind unghiul parcurs, fiind viteza unghiulară . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}$

Evaluare

Viteza zonei este notată în mod obișnuit , simbol corespunzător literei latine A cu un punct deasupra . ${\ displaystyle {\ dot {A}}}$

Explicaţie

A

este notația suprafeței sau a zonei. Punctul de mai sus este folosit pentru a exprima că este prima derivată a lui

A

în ceea ce privește timpul.

{\ displaystyle {\ dot {A}}}

Dimensiune și unitate

Dimensiunea vitezei domeniu este:

{\ displaystyle [{\ dot {A}}] = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}

Explicaţie

{\ displaystyle [{\ dot {A}}] = {\ frac {[A]} {[t]}} = {\ frac {\ mathrm {L ^ {2}}} {\ mathrm {T ^ {1 }}}} = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}

Metru pătrat pe secundă , o unitate derivată din Sistemul Internațional (SI) , este sa unitate .

Expresii

Viteza medie a zonei este exprimată prin:

{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}}.}

Viteza instantanee a zonei este exprimată prin:

{\ displaystyle {\ dot {A}} = \ lim _ {\ Delta {t} \ rightarrow {0}} {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d } t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ dot {\ theta}}.}

Viteza de suprafață constantă este exprimată prin:

{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {C} {2}},}

unde $C$ este aria constantă : ${\ displaystyle C = {r ^ {2}} {\ dot {\ theta}}.}$

Demonstrație geometrică

Luați în considerare o traiectorie plană.

La momentul $t 0 = 0$ , telefonul mobil este în $M 0$ . La momentul $T$ , mobil se află în $M$ .

Numim $A$ zona scanată de raza vectorială de la timpul $t 0$ la timpul $t$ .

După timpul $de t$ , vectorul rază a cuprins sectorul $WMO ' = d A$ .

Coordonatele punctului $M$ sunt, în coordonate carteziene, $x$ și $y$ sau altfel, în coordonate polare, $ρ$ (pentru rază) și $θ$ (pentru unghi ).

Cele ale lui $M '$ sunt, în coordonate carteziene, $x + d x$ și $y + d y$ , sau altfel, în coordonate polare, $ρ + d ρ$ și $θ + d θ$ .

Evaluarea coordonatelor polare

Evaluăm aria sectorului $OMM '$ , care fuzionează cu aria triunghiului $OMM'$ .

{\ displaystyle OMM '= \ mathrm {d} A = {\ frac {1} {2}} \ cdot OM \ cdot OM' \ cdot \ sin ({\ widehat {MOM '}}).}

adică:

{\ displaystyle \ mathrm {d} A = {\ frac {1} {2}} \ rho (\ rho + \ mathrm {d} \ rho) \ sin (\ mathrm {d} \ theta)}

Putem neglija $d ρ$ infinit de mic $în$ fața cantității finite $ρ$ și să confundăm sinusul cu unghiul infinit mic $d θ$ , deoarece are o limită de 1. ${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ mathrm {d} \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}}}$

Obținem astfel aria triunghiului infinitesimal $OMM '$ :

{\ displaystyle dA = {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}

Prin urmare, viteza zonei în coordonate polare:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}

Evaluarea în coordonate carteziene

Aria triunghiului infinitesimal $OMM '$ este dată de determinant :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} A & = {\ frac {1} {2}} {\ begin {vmatrix} x & x + \ mathrm {d} x & 0 \\ y & y + \ mathrm {d} y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix}} = {\ frac {1} {2}} (x \ mathrm {d} yy \ mathrm {d} x) \ end {aliniat}}}

Din care derivăm viteza zonei în coordonate carteziene:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right)}

Legătură cu impulsul unghiular

Prin definiție, impulsul unghiular este dat, pentru un mobil de masă $m$ , de:

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = m \, {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {v}}}

cu poziția corpului în mișcare și este viteza corpului în mișcare. ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {OM}} & = \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {align}}}$
${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {v}} & = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \\ { \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \\ 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {align}}}$

Cu toate acestea, conform proprietăților produsului vector $\land$ , mișcarea fiind în plan , ${\ displaystyle \ left ({\ vec {Ox}}, {\ vec {Oy}} \ right)}$

{\ displaystyle {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {v}} = \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} - y {\ frac { \ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) {\ vec {Oz}}}

Prin urmare:

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = 2m {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}} = {\ frac {{\ vec {L}} _ {O}} {2m} }}

Momentul unghiular este deci o cantitate de mișcare areolară, transferată pe axa perpendiculară pe planul mișcării.
Din punct de vedere istoric, aceste două concepte au fost dezvoltate în paralel, de către oamenii de știință Patrice d'Arcy , Daniel Bernoulli , Leonhard Euler , în urma unor observații similare.

Analogie între mișcare de translație și mișcare areolară

Să presupunem că o masă $m$ , poziționată la $( x , y , 0)$ , alocată unei forțe ale cărei coordonate sunt $( F x , F y , 0)$ . Principiul fundamental al dinamicii face posibilă scrierea:

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {x}}

(1)

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {y}}

(2)

Ecuația (1) înmulțită cu $x$ , apoi scăzută din ecuația (2), ea însăși înmulțită anterior cu $y$ , face posibilă obținerea:

{\ displaystyle m \ left ({\ frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = x \, F_ {y} -y \, F_ {x}}

(3)

Pe de o parte, în partea stângă a ecuației, recunoaștem a doua derivată a zonei scanate în raport cu timpul, cu alte cuvinte, accelerația areolară:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ dreapta) = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}

Pe de altă parte, în partea dreaptă a ecuației, recunoaștem momentul forței cu privire la origine:

{\ displaystyle x \, F_ {y} -y \, F_ {x} = OM \ wedge F = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}

Deci ecuația (3) poate fi rescrisă:

{\ displaystyle 2m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}

De asemenea, putem observa că, înmulțind accelerația areolară cu elementul de suprafață $d A$ , duce la diferențialul pătratului vitezei zonei:

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} A } {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ mathrm {d} A {\ frac {\ mathrm {d } ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathrm {d} A}

De acolo, ajungem cu o formă diferențială de ordinul 2, care leagă pătratul vitezei zonei și momentul forței:

{\ displaystyle m \ \ mathrm {d} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ { F / O} \, \ mathrm {d} A}

Sau, notând : ${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}}}$

{\ displaystyle m \ \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}

Prin comparație, într-o mișcare de translație unidimensională, diferențialul pătratului vitezei va fi scris:

{\ displaystyle \ mathrm {d} v ^ {2} = 2 \ v \ \ mathrm {d} v = 2 {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {\ frac { \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ \ mathrm {d} x \ {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d } t ^ {2}}} = 2F_ {x} \ mathrm {d} x}

Acest lucru permite să scrie principiul fundamental al dinamicii ca formă diferențială de ordinul 1: , ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mathrm {d} v ^ {2} = F_ {x} \ mathrm {d} x}$

a cărui formă este de până la un factor de 2 similar cu formula găsită în cazul anterior:

{\ displaystyle m \, \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}

cu condiția să se ia viteza areolară pentru viteză, momentul forței pentru forță, elementul de suprafață măturat pentru deplasarea elementară.

Legea zonelor

Dacă viteza zonei este constantă, zonele scanate sunt proporționale cu timpul.

Fie $C$ atunci o constantă. Dacă viteza zonei este constantă, avem:

{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = C}

Derivata în timp dă:

{\ displaystyle 2 \ rho {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle \ rho \ left (2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = 0}

Acum, este componenta accelerației perpendiculară pe vectorul razei. ${\ displaystyle 2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}$

Aceasta arată că, dacă viteza zonei este constantă, componenta accelerației perpendiculare pe vectorul razei este zero .

Exemple

Mobil care descrie o elipsă, a cărei viteză a zonei la centrul elipsei este constantă.

Într-o astfel de situație, accelerația către centru (deci forța) este proporțională cu distanța de la centrul elipsei. Este o lege de tipul Legii lui Hooke .

Într-adevăr, elipsa are pentru ecuație:

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ phi) \\ y = b \ sin (\ phi) \ end {cases}}}

În coordonate dreptunghiulare, derivarea în timp dă:

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {dx} {dt}} = - a \ sin (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \\ {\ frac {dy} {dt}} = b \ cos (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \ end {cases}}}

Deci, viteza zonei este scrisă ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) = a \, b \, {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = \ mathrm {C}}$

Deducem că viteza unghiulară este constantă:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {C}} {a \, b}} = \ mathrm {K}}

de unde ${\ displaystyle \ phi = \ mathrm {K} t}$

Și astfel legea mișcării este:

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ mathrm {K} t) \\ y = b \ sin (\ mathrm {K} t) \ end {cases}}}

Pe de altă parte, se știe că viteza zonei fiind constantă, componenta accelerației perpendiculare pe raza vectorului este zero. Atunci avem

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = \ Gamma _ {n} \ cos (\ phi) = \ Gamma _ {n } {\ frac {x} {\ rho}}}

Cu următoarele notații:

Γ n

: accelerație pe raza vectorială (îndreptându-se astfel spre centrul elipsei)

ϕ

: unghiul dintre vectorul razei și axa

x

ρ

: vectorul razei, distanța dintre mobil și centrul elipsei.

Asta da :

{\ displaystyle -a \, \ mathrm {K} ^ {2} \ cos (\ mathrm {K} t) = \ Gamma _ {n} a {\ frac {\ cos (\ mathrm {K} t)} { \ rho}}}

de unde :

{\ displaystyle \ Gamma _ {n} = - \ mathrm {K} ^ {2} \ rho}

Mobil care descrie o elipsă, a cărei viteză areolară la un punct focal al elipsei este constantă

Într-un astfel de caz, accelerația pe raza vectorială este proporțională cu inversul pătratului distanței de la focalizarea elipsei. Este o lege de tip lege universală a gravitației . Vezi și legile lui Kepler .

Link extern

Definiția vitezei zonei [1]

Referințe

Jurnal ,1823, 612 p. ( citiți online ) , p. 163.